《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

9. 【整体思想】(2024·济宁)已知$a^2 - 2b + 1 = 0$，则$\frac{4b}{a^2 + 1}$的值是2.

答案： 9.2

10. 通分：
(1) $\frac{1}{x^2 - 4},\frac{3}{2x - 4}$.
(2) $x - y,\frac{2y^2}{x + y}$.
(3) $\frac{1}{(x - 1)^2},\frac{1}{x^2 - 1},\frac{1}{x + 1}$.

答案： $(1)$
解：
先对分母进行因式分解：
$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，$2x-4 = 2(x - 2)$。
所以最简公分母是$2(x + 2)(x - 2)$。
$\frac{1}{x^{2}-4}=\frac{1×2}{(x + 2)(x - 2)×2}=\frac{2}{2(x + 2)(x - 2)}$；
$\frac{3}{2x - 4}=\frac{3×(x + 2)}{2(x - 2)×(x + 2)}=\frac{3(x + 2)}{2(x + 2)(x - 2)}$。
$(2)$
解：
最简公分母是$x + y$。
$x - y=\frac{(x - y)(x + y)}{x + y}=\frac{x^{2}-y^{2}}{x + y}$；
$\frac{2y^{2}}{x + y}$保持不变。
$(3)$
解：
对分母进行因式分解：$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$。
所以最简公分母是$(x - 1)^{2}(x + 1)$。
$\frac{1}{(x - 1)^{2}}=\frac{1×(x + 1)}{(x - 1)^{2}×(x + 1)}=\frac{x + 1}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$；
$\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1×(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)×(x - 1)}=\frac{x - 1}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$；
$\frac{1}{x + 1}=\frac{1×(x - 1)^{2}}{(x + 1)×(x - 1)^{2}}=\frac{(x - 1)^{2}}{(x - 1)^{2}(x + 1)}$。

11. (1) 先化简，再求值：$\frac{(a^3)^2}{a^4}-\frac{2a^4\cdot a}{a^3}$，其中$a = -2$.
(2) (2024·北京)已知$a - b - 1 = 0$，求代数式$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$的值.

答案： $(1)$ 化简并求值$\boldsymbol{\frac{(a^3)^2}{a^4}-\frac{2a^4\cdot a}{a^3}}$
- **步骤一：化简式子
根据幂的乘方公式$(x^m)^n = x^{mn}$，对$\frac{(a^3)^2}{a^4}$化简：
$\frac{(a^3)^2}{a^4}=\frac{a^{3×2}}{a^4}=\frac{a^6}{a^4}$
再根据同底数幂的除法公式$x^m÷ x^n = x^{m - n}$，可得$\frac{a^6}{a^4}=a^{6 - 4}=a^2$。
根据同底数幂的乘法公式$x^m\cdot x^n = x^{m + n}$，对$\frac{2a^4\cdot a}{a^3}$化简：
$\frac{2a^4\cdot a}{a^3}=\frac{2a^{4 + 1}}{a^3}=\frac{2a^5}{a^3}$
再根据同底数幂的除法公式，可得$\frac{2a^5}{a^3}=2a^{5 - 3}=2a^2$。
所以$\frac{(a^3)^2}{a^4}-\frac{2a^4\cdot a}{a^3}=a^2-2a^2=-a^2$。
- **步骤二：代入求值
当$a = - 2$时，将$a=-2$代入$-a^2$得：
$-(-2)^2=-4$。
$(2)$ 求代数式$\boldsymbol{\frac{3(a - 2b)+3b}{a^2 - 2ab + b^2}}$的值
- **步骤一：化简式子
先对分子分母分别化简：
分子：$3(a - 2b)+3b = 3a-6b + 3b=3a - 3b=3(a - b)$。
分母：根据完全平方公式$x^2-2xy + y^2=(x - y)^2$，可得$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$。
所以$\frac{3(a - 2b)+3b}{a^2 - 2ab + b^2}=\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}$（$a\neq b$），再根据同底数幂的除法公式，可得$\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}=\frac{3}{a - b}$。
- **步骤二：根据已知条件求值
已知$a - b-1 = 0$，移项可得$a - b = 1$。
将$a - b = 1$代入$\frac{3}{a - b}$得：$\frac{3}{1}=3$。
综上，$(1)$ 的值为$\boldsymbol{-4}$；$(2)$ 的值为$\boldsymbol{3}$。

12. 新考向 阅读理解 小学阶段，把分子比分母小的数叫作真分数.类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式.如：$\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 2}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{2}{x - 1}=1+\frac{2}{x - 1}$.
(1) 下列分式中，属于真分式的是(C)
A. $\frac{x^2}{x - 1}$ B. $\frac{x - 1}{x + 1}$
C. $-\frac{3}{2x - 1}$ D. $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$
(2) 将假分式$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$化成整式与真分式的和的形式.
(3) 若$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$的值是整数，求整数$m$的值.

答案： 12.解:
(1)C
(2)$\frac {m^{2}+3}{m+1}=\frac {m^{2}-1+4}{m+1}=\frac {m^{2}-1}{m+1}+\frac {4}{m+1}=\frac {(m+1)(m-1)}{m+1}+\frac {4}{m+1}=m-1+\frac {4}{m+1}.$
(3)由
(2)可得,$\frac {m^{2}+3}{m+1}=m-1+\frac {4}{m+1}$.
∵$\frac {m^{2}+3}{m+1}$的值为整数,且m为整数,$m+1≠0$,
∴$\frac {4}{m+1}$为整数,且$m≠-1$.
∴$m+1$的值为-1或1或-4或4或-2或2.
∴m的值为-2或0或-5或3或-3或1.