《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

1. 化简：$\frac{x^3}{x}=$(B)

A.$x$
B.$x^2$
C.$x^3$
D.$x^4$

答案： B

2. 下列分式中，属于最简分式的是(A)

A.$\frac{1}{x}$
B.$\frac{2x}{x^2}$
C.$\frac{4}{2x}$
D.$\frac{1 - x}{x - 1}$

答案： A

3. 下列约分正确的是(B)

A.$\frac{m + 1}{m + 2}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{ab}{ab - b^2}=\frac{a}{a - b}$
C.$\frac{b + a}{a + b}=-1$
D.$\frac{x^2 + y}{xy^2}=\frac{x + y}{y^2}$

答案： B

4. 约分：
(1) $\frac{-16x^2y^3}{20xy^4}=$$-\frac{4x}{5y}$.
(2) $\frac{x + 1}{x^2 + 2x + 1}=$$\frac{1}{x+1}$.

答案： 4.
(1)$-\frac {4x}{5y}$
(2)$\frac {1}{x+1}$

5. 化简下列各式：
(1) $\frac{2a(a + 1)}{8ab^2(a + 1)}$.
(2) $\frac{12ab^2 + 9abc}{3a^2b}$.
(3) $\frac{x^2 - 9}{xy + 3y}$.
(4) $\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4}$.

答案： 1. （1）
解：
对于$\frac{2a(a + 1)}{8ab^2(a + 1)}$，根据分式的基本性质，分子分母同时约去公因式$2a(a + 1)$。
则$\frac{2a(a + 1)}{8ab^2(a + 1)}=\frac{1}{4b^{2}}$（$a\neq0$且$a\neq - 1$）。
2. （2）
解：
先对分子$12ab^{2}+9abc$提取公因式$3ab$，得到$12ab^{2}+9abc = 3ab(4b + 3c)$。
那么$\frac{12ab^{2}+9abc}{3a^{2}b}=\frac{3ab(4b + 3c)}{3a^{2}b}$。
分子分母同时约去公因式$3ab$，可得$\frac{4b + 3c}{a}$（$a\neq0$且$b\neq0$）。
3. （3）
解：
对分子$x^{2}-9$利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = x$，$b = 3$，则$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$。
对分母$xy+3y$提取公因式$y$，得到$xy + 3y=y(x + 3)$。
所以$\frac{x^{2}-9}{xy + 3y}=\frac{(x + 3)(x - 3)}{y(x + 3)}$。
分子分母同时约去公因式$(x + 3)$，可得$\frac{x - 3}{y}$（$y\neq0$且$x\neq - 3$）。
4. （4）
解：
对分子$a^{2}-4$利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，这里$a = a$，$b = 2$，则$a^{2}-4=(a + 2)(a - 2)$。
对分母$a^{2}-4a + 4$利用完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a=a$，$b = 2$，则$a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}$。
所以$\frac{a^{2}-4}{a^{2}-4a + 4}=\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)^{2}}$。
分子分母同时约去公因式$(a - 2)$，可得$\frac{a + 2}{a - 2}$（$a\neq2$）。
综上，（1）$\frac{1}{4b^{2}}$（$a\neq0$且$a\neq - 1$）；（2）$\frac{4b + 3c}{a}$（$a\neq0$且$b\neq0$）；（3）$\frac{x - 3}{y}$（$y\neq0$且$x\neq - 3$）；（4）$\frac{a + 2}{a - 2}$（$a\neq2$）。

6. 确定最简公分母：
(1) 分式$\frac{1}{x + 2}$与$\frac{1}{x - 2}$的最简公分母是(x+2)(x-2).
(2) 分式$\frac{1}{8a}$与$\frac{1}{6b}$的最简公分母是24ab.
(3) 分式$\frac{3}{2a^2b}$与$\frac{a - b}{ab^2c}$的最简公分母是2a^{2}b^{2}c.
(4) 分式$\frac{1}{(m + 5)^2}$与$\frac{1}{2(m + 5)}$的最简公分母是2(m+5)^{2}.
(5) 分式$\frac{1}{xy},-\frac{y}{4x^3},\frac{3x}{2x^2y}$的最简公分母是4x^{3}y.

答案： 6.
(1)$(x+2)(x-2)$
(2)24ab
(3)$2a^{2}b^{2}c$
(4)$2(m+5)^{2}$
(5)$4x^{3}y$

7. 将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$与$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分子$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为6x^{2}.

答案： 7.$6x^{2}$

8. 通分：
(1) $1,\frac{x}{x + 1}$.
(2) $\frac{2n}{n - 2},\frac{3n}{n + 3}$.
(3) $\frac{y}{4x^2},\frac{5}{6xy}$.

答案： $(1)$ 通分$1,\frac{x}{x + 1}$
解：
先确定最简公分母，两个式子分母分别为$1$和$x + 1$，最简公分母为$x + 1$。
- $1=\frac{1×(x + 1)}{x + 1}=\frac{x + 1}{x + 1}$；
- $\frac{x}{x + 1}$保持不变。
$(2)$ 通分$\frac{2n}{n - 2},\frac{3n}{n + 3}$
解：
先确定最简公分母，两个式子分母分别为$n - 2$和$n + 3$，最简公分母为$(n - 2)(n + 3)$。
- $\frac{2n}{n - 2}=\frac{2n×(n + 3)}{(n - 2)(n + 3)}=\frac{2n(n + 3)}{(n - 2)(n + 3)}=\frac{2n^{2}+6n}{(n - 2)(n + 3)}$；
- $\frac{3n}{n + 3}=\frac{3n×(n - 2)}{(n + 3)(n - 2)}=\frac{3n(n - 2)}{(n + 3)(n - 2)}=\frac{3n^{2}-6n}{(n + 3)(n - 2)}$。
$(3)$ 通分$\frac{y}{4x^{2}},\frac{5}{6xy}$
解：
先确定最简公分母，$4x^{2}=2^{2}× x^{2}$，$6xy = 2×3× x× y$，最简公分母为$12x^{2}y$。
- $\frac{y}{4x^{2}}=\frac{y×3y}{4x^{2}×3y}=\frac{3y^{2}}{12x^{2}y}$；
- $\frac{5}{6xy}=\frac{5×2x}{6xy×2x}=\frac{10x}{12x^{2}y}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{1=\frac{x + 1}{x + 1}}$，$\boldsymbol{\frac{x}{x + 1}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{2n^{2}+6n}{(n - 2)(n + 3)}}$，$\boldsymbol{\frac{3n^{2}-6n}{(n + 3)(n - 2)}}$；$(3)$$\boldsymbol{\frac{3y^{2}}{12x^{2}y}}$，$\boldsymbol{\frac{10x}{12x^{2}y}}$。