《2025年名校课堂八年级数学上册人教版江西专版》

10. 新考向 真实情境 如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆$CD$与支杆$BC$，$CD = BC$且$\angle BCE = 120^{\circ}$. 若$CD$的长度为$50\mathrm{cm}$，则此时$B$，$D$两点之间的距离为(C)

A.$40\mathrm{cm}$
B.$45\mathrm{cm}$
C.$50\mathrm{cm}$
D.$55\mathrm{cm}$
]

答案： C

11. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，点$D$，$E$，$F$分别在$AB$，$BC$，$AC$上. 若$\angle 1 = \angle 2$，$\angle DFE = 80^{\circ}$，则$\angle EDF =$(D)

A.$60^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$40^{\circ}$

答案： D

12. 含$30^{\circ}$角的直角三角板与直线$l_1$，$l_2$的位置关系如图所示，已知$l_1// l_2$，$\angle 1 = 60^{\circ}$，以下四个结论中正确的是①②④(填序号).
①$\triangle BCD$为等边三角形；②$AD = BD$；③$CD = AD$；④$AB = 2BC$.

答案： ①②④

13. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$CB = CD$，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$E$为$AD$上一点，连接$BD$，$CE$相交于点$F$，$CE// AB$.
（1）判断$\triangle DEF$的形状，并说明理由.
（2）若$AD = 12$，$CE = 8$，求$CF$的长.
]

答案： 解：
(1)△DEF是等边三角形.理由：
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴∠ABD=∠ADB=60°.
∵CE//AB，
∴∠CED=∠BAD=60°，∠DFE=∠ABD=60°.
∴∠CED=∠ADB=∠DFE.
∴△DEF是等边三角形.
(2)连接AC.
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC是线段BD的垂直平分线.
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∵CE//AB，
∴∠BAC=∠ACE=∠DAC=30°.
∴AE=CE=8.
∵DE=AE-AD=12-8=4.
∵△DEF是等边三角形，
∴EF=DE=4.
∴CF=CE-EF=8-4=4.

14. 如图1，在等边三角形$ABC$中，$D$是边$AB$上的动点，以$CD$为一边，向上作等边三角形$EDC$，连接$AE$.
（1）$\triangle DBC$和$\triangle EAC$全等吗？请说明理由.
（2）求证：$AE// BC$.
（3）如图2，动点$D$运动到边$BA$的延长线上，$\triangle EDC$仍为等边三角形，请问是否仍有$AE// BC$？证明你的猜想.

]

答案： 解：
(1)△DBC≌△EAC.理由：
∵△ABC、△EDC是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，{BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△DBC≌△EAC(SAS).
(2)证明：
∵△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.
(3)仍有AE//BC.证明：
∵△ABC、△EDC为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中，{BC=AC,∠BCD=∠ACE,DC=EC,
∴△DBC≌△EAC(SAS).
∴∠EAC=∠B=60°.又
∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB.
∴AE//BC.