《2025年综合应用创新题典中点六年级数学上册苏教版》

1. 用棱长为1的小正方体拼成如下图的大正方体后,把它们的表面分别涂上颜色,在第①、②、③个大正方体中,三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少个？

8 8 8 0 12 24 0 6 24 0 1 8
(1)按照这样的规律,第④、⑤、⑥、⑦、⑧个大正方体的结果会是怎样的呢？

8 8 8 8 8 36 48 60 72 84 54 96 150 216 294 27 64 125 216 343
(2)观察上表,若把一个表面涂色的棱长为$n(n≥3)$的大正方体切成棱长为1的小正方体,则：
①三面涂色的小正方体位于顶点上,每个顶点上有1个,共有8个。
②两面涂色的小正方体位于棱上,每条棱上有n-2个,共有12(n-2)个。
③一面涂色的小正方体位于面上,每个面上有$(n-2)^2$个,共有$6(n-2)^2$个。
④没有涂色的小正方体位于大正方体内部,共有$(n-2)^3$个。

答案： 1.（横排）8 8 8 0 12 24 0 6 24 0 1 8
（1）（横排）8 8 8 8 8 36 48 60 72 84 54 96 150 216 294 27 64 125 216 343（2）①8 ②n-2 12(n-2) $③(n-2)^2 6(n-2)^2 ④(n-2)^3$

2. 新情境·科普知识 激光切割技术采用激光束照射到钢板表面时释放的能量来使不锈钢熔化并蒸发。激光源一般用二氧化碳激光束。有一个表面涂色的大正方体,若用激光切割技术把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体有54个,则这个表面涂色的大正方体的体积是多少立方厘米？

答案： 2.54÷6=9（个） 9=3×3 3+2=5（厘米）5×5×5=125（立方厘米）答：这个表面涂色的大正方体的体积是125立方厘米。【点拨】一面涂色的小正方体有$6(n-2)^2$个，据此得出大正方体的棱长，再根据体积公式计算即可。

3. 如图是由三层小正方体摆成的物体。如果把它的外表面(包括底面,底面是正方形)全部涂成蓝色,再把它们分开,那么有多少个小正方体三面是蓝色的呢？

答案： 3.25-9-4=12（个） 4+12=16（个）答：有16个小正方体三面是蓝色的。【点拨】从上往下看：第一层有1个小正方体，露在外部5个面；第二层有3×3=9（个）小正方体，中间1个小正方体1个面也不露，其他8个小正方体中，四个顶点处的4个小正方体露出3个面，另外4个小正方体只露出2个面；第三层有5×5=25（个）小正方体，中间9个小正方体只露出1个面，四个顶点处的4个小正方体露出4个面，剩下的25-9-4=12（个）小正方体都露出3个面。有3个面露在外部的小正方体，即三面是蓝色的小正方体一共有4+12=16（个）。

4. 一个长方体木块,长6dm,宽5dm,高4dm,在它的表面涂上绿色,然后把它锯成棱长是1dm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中,三面涂绿色的有多少个？两面、一面涂绿色的各有多少个？六面都没有涂绿色的有多少个？

答案： 4.三面涂绿色：8个两面涂绿色：[(6-2)+(5-2)+(4-2)]×4=36（个）一面涂绿色：[(6-2)×(5-2)+(6-2)×(4-2)+(5-2)×(4-2)]×2=52（个）六面都没有涂绿色：(6-2)×(5-2)×(4-2)=24（个）答：三面涂绿色的有8个，两面、一面涂绿色的各有36个、52个，六面都没有涂绿色的有24个。