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1. 如图,在半径为5的$\odot O$中,$AB$,$CD$是互相垂直的两条弦,垂足为$P$,且$AB = CD = 8$,则$OP$的长为
$3\sqrt{2}$
。
答案：
$3\sqrt{2}$
2. 如图,$AB为\odot O$的直径,弦$CD\perp AB于点F$,$OE\perp AC于点E$。若$OE = 3$,$OB = 5$,则$AE$的长是
4
,$CD$的长是9.6
。
答案：
4 9.6
3. 如图,已知$\odot M交x轴于B$,$C$两点,交$y轴于点A$,点$M$的纵坐标为2,$B(-3\sqrt{3},0)$,$C(\sqrt{3},0)$。
(1)求$\odot M$的半径；
(2)若$CE\perp AB于点H$,交$y轴于点F$,求证：$EH = FH$；
(3)在(2)的条件下,求$AF$的长。
(1)求$\odot M$的半径；
(2)若$CE\perp AB于点H$,交$y轴于点F$,求证：$EH = FH$；
(3)在(2)的条件下,求$AF$的长。
答案：
3.
(1)解:如答图①,过点 $M$ 作 $MT⊥BC$ 于点 $T$,连接 $BM$,则 $MT = 2$, $BT = TC = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{3}$, $∴BM = \sqrt{12 + 4} = 4$,即 $⊙M$ 的半径为 4.
(2)证明:如答图②,连接 $AE$,则 $∠AEC = ∠ABC$. $∵CE⊥AB$, $∴∠HBC + ∠BCH = 90^{\circ}$. 在 $△COF$ 中, $∵∠OFC + ∠OCF = 90^{\circ}$, $∴∠HBC = ∠OFC = ∠AFH$; $∴∠AEH = ∠AFH$.
在 $△AEH$ 和 $△AFH$ 中,$\begin{cases}∠AFH = ∠AEH\\∠AHF = ∠AHE\\AH = AH\end{cases}$
$∴△AEH≌△AFH(AAS)$, $∴EH = FH$.
(3)解:如答图③,作直径 $BG$,作 $MT⊥BC$ 于点 $T$,连接 $CG$, $AG$, $AC$,
则 $∠MTB = 90^{\circ}$, $∠GCB = 90^{\circ}$,
$∴MT// GC$, $∴∠BMT = ∠BGC = ∠BAC$;
由
(1)易知, $∠BMT = 60^{\circ}$. $∴∠BGC = ∠BAC = 60^{\circ}$.
$∵⊙O$ 的半径为 4, $∴CG = 4$.
$∵∠BCG = 90^{\circ}$, $∴CG⊥x$ 轴, $∴CG// AF$.
$∵∠BAG = 90^{\circ}$, $∴AG⊥AB$.
$∵CE⊥AB$, $∴AG// CE$,
$∴$ 四边形 $AFCG$ 为平行四边形, $∴AF = CG = 4$.
3.
(1)解:如答图①,过点 $M$ 作 $MT⊥BC$ 于点 $T$,连接 $BM$,则 $MT = 2$, $BT = TC = \frac{1}{2}BC = 2\sqrt{3}$, $∴BM = \sqrt{12 + 4} = 4$,即 $⊙M$ 的半径为 4.
(2)证明:如答图②,连接 $AE$,则 $∠AEC = ∠ABC$. $∵CE⊥AB$, $∴∠HBC + ∠BCH = 90^{\circ}$. 在 $△COF$ 中, $∵∠OFC + ∠OCF = 90^{\circ}$, $∴∠HBC = ∠OFC = ∠AFH$; $∴∠AEH = ∠AFH$.
在 $△AEH$ 和 $△AFH$ 中,$\begin{cases}∠AFH = ∠AEH\\∠AHF = ∠AHE\\AH = AH\end{cases}$
$∴△AEH≌△AFH(AAS)$, $∴EH = FH$.
(3)解:如答图③,作直径 $BG$,作 $MT⊥BC$ 于点 $T$,连接 $CG$, $AG$, $AC$,
则 $∠MTB = 90^{\circ}$, $∠GCB = 90^{\circ}$,
$∴MT// GC$, $∴∠BMT = ∠BGC = ∠BAC$;
由
(1)易知, $∠BMT = 60^{\circ}$. $∴∠BGC = ∠BAC = 60^{\circ}$.
$∵⊙O$ 的半径为 4, $∴CG = 4$.
$∵∠BCG = 90^{\circ}$, $∴CG⊥x$ 轴, $∴CG// AF$.
$∵∠BAG = 90^{\circ}$, $∴AG⊥AB$.
$∵CE⊥AB$, $∴AG// CE$,
$∴$ 四边形 $AFCG$ 为平行四边形, $∴AF = CG = 4$.
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