《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 我们规定: 若 $ a = ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ) $, $ b = ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $, 则 $ a \cdot b = x _ { 1 } x _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 2 } $. 例如: $ a = ( 1, 3 ) $, $ b = ( 2, 4 ) $, 则 $ a \cdot b = 1 × 2 + 3 × 4 = 2 + 12 = 14 $. 已知 $ a = ( x - 1, x + 1 ) $, $ b = ( x + 3, 4 ) $, 若 $ a \cdot b = 7 $, 且 $ - 2 \leq x \leq 3 $, 则 $ x $ 的值为$-3+\sqrt{15}$.

答案： $-3+\sqrt{15}$

2. 对于实数 $ m $, $ n $, 先定义一种运算“$ \otimes $”:$ m \otimes n = \left\{ \begin{array} { l } { m ^ { 2 } + m + n ( m \geq n ), } \\ { n ^ { 2 } + m + n ( m ＜ n ). } \end{array} \right. $ 若 $ x \otimes ( - 2 ) = 10 $, 则实数 $ x $ 的值为______3.

答案： 3

3. 定义新运算: 对于两个不相等的实数 $ a $, $ b $, 我们规定符号 $ \max \{ a, b \} $ 表示 $ a $, $ b $ 中的较大值, 例如: $ \max \{ 1, 3 \} = 3 $, $ \max \{ - 1, - 3 \} = - 1 $. 按照这个规定, 求方程 $ \max \{ x, - x \} = \frac { x ^ { 2 } - 2 x - 1 } { 2 } $ 的解.

答案： 解:由题意知，
当 $x\geqslant 0$ 时，$\max\{x,-x\}=x=\frac{x^2-2x-1}{2}$，即 $x^2-4x-1=0$，
解得 $x_1=-\sqrt{5}+2$，$x_2=\sqrt{5}+2$，$\because x_1=-\sqrt{5}+2\lt 0$，
$\therefore x=\sqrt{5}+2$；
当 $x\lt 0$ 时，$\max\{x,-x\}=-x=\frac{x^2-2x-1}{2}$，即 $x^2-1=0$，解得 $x_1=1$，$x_2=-1$，
$\because x_1=1\gt 0$，$\therefore x=-1$。
综上，方程 $\max\{x,-x\}=\frac{x^2-2x-1}{2}$ 的解为 $x=\sqrt{5}+2$ 或 $x=-1$。