《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 已知$a,b是方程x^{2}-x-3= 0$的两个根,则代数式$a^{2}+2b^{2}+a+ab$的值为8.

答案： 8

2. 已知实数$m,n满足3m^{2}+5m-3= 0,3n^{2}-5n-3= 0$,且$mn≠1$,则$\frac {1}{n^{2}}+\frac {m}{n}-\frac {5}{3}m$的值为$\frac{25}{9}$.

答案： $\frac{25}{9}$

3. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2mx+m^{2}+\frac {3}{2}m-1= 0$有两个实数根.
(1)求$m$的取值范围;
(2)设$x_{1},x_{2}$是方程的两个实数根,当$m$为何值时,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$有最小值? 并求出这个最小值.

答案： 解：
(1)
∵一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}+\frac{3}{2}m - 1 = 0$有两个实数根，
∴$\Delta = (-2m)^{2}-4×(m^{2}+\frac{3}{2}m - 1)=-6m + 4\geq0$，
∴$m\leq\frac{2}{3}$，
∴实数$m$的取值范围为$m\leq\frac{2}{3}$。
(2)
∵$x_{1}+x_{2}=2m$，$x_{1}\cdot x_{2}=m^{2}+\frac{3}{2}m - 1$，
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(2m)^{2}-2×(m^{2}+\frac{3}{2}m - 1)=2m^{2}-3m + 2=2(m-\frac{3}{4})^{2}+\frac{7}{8}$，
∵$m\leq\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}＜\frac{3}{4}$，
∴当$m=\frac{2}{3}$时，$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$有最小值，最小值是$2×(\frac{2}{3}-\frac{3}{4})^{2}+\frac{7}{8}=\frac{8}{9}$。