《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 如图,在一块长32m、宽24m的矩形绿地内,建一个矩形花圃。
(1)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃四周的绿地等宽,求矩形花圃的周长。
(2)要使矩形花圃的面积是矩形绿地面积的一半,且矩形花圃的周长是矩形绿地周长的一半,问这样的矩形花圃能否围成？如果能,请求出矩形花圃的长和宽；如果不能,请说明理由。

答案： 1. 解：
(1)设矩形花圃四周的绿地宽为$x$m，则矩形花圃的长为$(32 - 2x)$m，宽为$(24 - 2x)$m，依题意得$(32 - 2x)(24 - 2x)=\frac{1}{2}×32×24$，整理得$x^{2}-28x + 96 = 0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=24$（不符合题意，舍去），
$\therefore 2[(32 - 2x)+(24 - 2x)] = 2×[(32 - 2×4)+(24 - 2×4)] = 80$。
答：矩形花圃的周长为80m。
(2)不能围成符合题意的矩形，理由如下：假设能围成，设矩形花圃的长为$y$m，则宽为$\frac{\frac{1}{2}×2×(32 + 24)-2y}{2}=(28 - y)$m，依题意得$y(28 - y)=\frac{1}{2}×32×24$，整理得$y^{2}-28y + 384 = 0$。
$\because\Delta=(-28)^{2}-4×1×384=-752\lt0$，
$\therefore$所列方程没有实数根，
$\therefore$不能围成符合题意的矩形花圃。

2. 为了加强劳动教育,某校在校园内开辟了一块劳动教育基地：如图,一面利用学校的墙(墙的最大可用长度为28米),用长为39米的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地,在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门,便于同学们进入。
(1)若围成的菜地的面积为120平方米,求此时边AB的长；
(2)若每平方米可收获2千克菜,问这片菜地最多可收获多少千克菜？

答案： 2. 解：
(1)设$AB$的长为$x$米，则$BC$的长为$(39 + 3 - 3x)$米，
根据题意得$x(39 + 3 - 3x)=120$，整理得$x^{2}-14x + 40 = 0$，
解得$x_{1}=4$，$x_{2}=10$，
当$x = 4$时，$39 + 3 - 3x = 39 + 3 - 3×4 = 30\gt28$，不符合题意，舍去。
当$x = 10$时，$39 + 3 - 3x = 39 + 3 - 3×10 = 12\lt28$，符合题意。
答：此时边$AB$的长为10米。
(2)设$AB$的长为$m$米，围成的菜地的面积为$n$平方米，则$BC$的长为$(39 + 3 - 3m)$米，
根据题意得$n = m(39 + 3 - 3m)=-3m^{2}+42m$，
即$n=-3(m - 7)^{2}+147$。
$\because\begin{cases}39 + 3 - 3m\gt2\\39 + 3 - 3m\leqslant28\end{cases}$，$\therefore\frac{14}{3}\leqslant m\lt\frac{40}{3}$。
$\because-3\lt0$，
$\therefore$当$m = 7$时，$n$取得最大值，最大值为147，$2×147 = 294$。
答：这片菜地最多可收获294千克菜。