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1. 若 $x^{2}+x= 5+\sqrt {5}$,则 $x$ 的值是
$\sqrt {5}$或$-\sqrt {5}-1$
。
答案：
$\sqrt {5}$或$-\sqrt {5}-1$
2. 观察式子特征,并计算：$\frac {2024-\sqrt {2024^{2}+4×2025}}{2}=$
-1
。
答案：
-1
3. 若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^{3}-5x^{2}+2x + 1 = 0$ 的一个根,求这个方程的其他根。
答案：
解:将$x=1$代入方程得$a-5+2+1=0$,解得$a=2$. 即原方程为$2x^{3}-5x^{2}+2x+1=0$, 由题意设原方程可以变形为$(x-1)(2x^{2}+mx-1)=0$, 展开得$2x^{3}+(m-2)x^{2}-(m+1)x+1=0,\therefore m=-3$. $\therefore 2x^{2}-3x-1=0$,解得$x_{1}=\frac {3+\sqrt {17}}{4},x_{2}=\frac {3-\sqrt {17}}{4}$. $\therefore$方程的另外两个根为$x_{1}=\frac {3+\sqrt {17}}{4},x_{2}=\frac {3-\sqrt {17}}{4}$.
4. 已知 $\alpha,\beta$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - m)(x - n)-2(x - m)= 0$ 的两个实数根。
(1) 若 $\alpha=\beta$,则 $m$ 与 $n$ 满足的关系式为
(2) 若 $\beta\lt\alpha\lt0$,求 $m + n$ 的取值范围。
(1) 若 $\alpha=\beta$,则 $m$ 与 $n$ 满足的关系式为
$m=n+2$
；(2) 若 $\beta\lt\alpha\lt0$,求 $m + n$ 的取值范围。
解:由题意可求得方程的两根分别为$m,n+2$,∵方程的两根α,β满足$β＜α＜0$,$\therefore m+n+2＜0,\therefore m+n＜-2$.
答案：
(1)$m=n+2$
(2)解:由题意可求得方程的两根分别为$m,n+2$,
∵方程的两根α,β满足$β＜α＜0$,$\therefore m+n+2＜0,\therefore m+n＜-2$.
(1)$m=n+2$
(2)解:由题意可求得方程的两根分别为$m,n+2$,
∵方程的两根α,β满足$β＜α＜0$,$\therefore m+n+2＜0,\therefore m+n＜-2$.
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