搜索
1. 如图,半圆 O 的直径 AB 为 15,弦 BC 为 9,D 为弧 AC 的中点,连接 BD,则 BD 的长是
$6 \sqrt { 5 }$
.
答案：
$6 \sqrt { 5 }$
2. 如图,在半径为 5 的⊙O 中,AB 是直径,AC 是弦,D 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,AC 与 BD 交于点 P,若 P 是 BD 的中点,则 AC 的长是
$ \frac { 20 \sqrt { 2 } } { 3 }$
.
答案：
1. 首先，连接$OD$交$AC$于点$E$：
因为$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点，根据垂径定理的推论，$OD\perp AC$，$AE = CE=\frac{1}{2}AC$。
已知$AB$是直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$O$是$AB$的中点，$OD// BC$（同位角相等，两直线平行，$\angle AEO=\angle ACB = 90^{\circ}$）。
2. 然后，设$OE = x$：
因为$OD = 5$，所以$DE=5 - x$。
由于$OD// BC$，所以$\triangle DPE\sim\triangle BPC$。
因为$P$是$BD$的中点，即$DP = BP$，根据相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例），$\frac{DE}{BC}=\frac{DP}{BP}=1$，则$BC = DE = 5 - x$。
又因为$O$是$AB$的中点，$OE$是$\triangle ABC$的中位线，所以$BC = 2OE$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），即$5 - x = 2x$。
3. 接着，解方程$5 - x = 2x$：
移项可得$2x+x = 5$，即$3x = 5$，解得$x=\frac{5}{3}$。
所以$BC = 5-\frac{5}{3}=\frac{10}{3}$。
4. 最后，求$AC$的长：
因为$AB = 10$（半径为$5$，直径$AB = 2×5$），在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$。
把$AB = 10$，$BC=\frac{10}{3}$代入$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，得$AC=\sqrt{10^{2}-\left(\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{900 - 100}{9}}=\sqrt{\frac{800}{9}}=\frac{20\sqrt{2}}{3}$。
故$AC$的长是$\frac{20\sqrt{2}}{3}$。
因为$D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点，根据垂径定理的推论，$OD\perp AC$，$AE = CE=\frac{1}{2}AC$。
已知$AB$是直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
又因为$O$是$AB$的中点，$OD// BC$（同位角相等，两直线平行，$\angle AEO=\angle ACB = 90^{\circ}$）。
2. 然后，设$OE = x$：
因为$OD = 5$，所以$DE=5 - x$。
由于$OD// BC$，所以$\triangle DPE\sim\triangle BPC$。
因为$P$是$BD$的中点，即$DP = BP$，根据相似三角形的性质（相似三角形对应边成比例），$\frac{DE}{BC}=\frac{DP}{BP}=1$，则$BC = DE = 5 - x$。
又因为$O$是$AB$的中点，$OE$是$\triangle ABC$的中位线，所以$BC = 2OE$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），即$5 - x = 2x$。
3. 接着，解方程$5 - x = 2x$：
移项可得$2x+x = 5$，即$3x = 5$，解得$x=\frac{5}{3}$。
所以$BC = 5-\frac{5}{3}=\frac{10}{3}$。
4. 最后，求$AC$的长：
因为$AB = 10$（半径为$5$，直径$AB = 2×5$），在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$。
把$AB = 10$，$BC=\frac{10}{3}$代入$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，得$AC=\sqrt{10^{2}-\left(\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{900 - 100}{9}}=\sqrt{\frac{800}{9}}=\frac{20\sqrt{2}}{3}$。
故$AC$的长是$\frac{20\sqrt{2}}{3}$。
3. 如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 是 AB 上方⊙O 上异于 A,B 的点,点 D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,过点 D 作 DE$//$AB 交 CB 的延长线于点 E,连接 AC,AD.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)若 AC = 8,BC = 6,求图中阴影部分的面积.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)若 AC = 8,BC = 6,求图中阴影部分的面积.
答案：
3.
(1)证明:如答图，连接 $OD $。
∵ 点 $ D $ 是 $\widehat{ A B } $ 的中点，$ \therefore\widehat{ A D } =\widehat{ B D } $，$ \therefore \angle A O D = \angle B O D $。
∵ $ \angle A O D + \angle B O D = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore 2 \angle A O D = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A O D = \angle B O D = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ D E // A B $，
$ \therefore \angle O D E = \angle A O D = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ O D $ 是 $ \odot O $ 的半径，且 $ D E \perp O D $，
$ \therefore D E $ 是 $ \odot O $ 的切线。
(2)解:
∵ $ A B $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ \therefore \angle A C B = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ A C = 8 $，$ B C = 6 $，$ \therefore A B = \sqrt { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 8 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } } = 10 $，
$ \therefore O D = O A = O B = \frac { 1 } { 2 } A B = 5 $。
由
(1) 得 $ \angle A O D = \angle B O D = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore S _ { \text { 阴影 } } = S _ { \triangle A O D } + S _ { \text { 扇形 } B O D } = \frac { 1 } { 2 } × 5 × 5 + \frac { 90 × \pi × 5 ^ { 2 } } { 360 } = \frac { 25 } { 2 } + \frac { 25 \pi } { 4 } $，$ \therefore $ 图中阴影部分的面积是 $ \frac { 25 } { 2 } + \frac { 25 \pi } { 4 } $。
3.
(1)证明:如答图，连接 $OD $。
∵ 点 $ D $ 是 $\widehat{ A B } $ 的中点，$ \therefore\widehat{ A D } =\widehat{ B D } $，$ \therefore \angle A O D = \angle B O D $。
∵ $ \angle A O D + \angle B O D = 180 ^ { \circ } $，$ \therefore 2 \angle A O D = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A O D = \angle B O D = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ D E // A B $，
$ \therefore \angle O D E = \angle A O D = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ O D $ 是 $ \odot O $ 的半径，且 $ D E \perp O D $，
$ \therefore D E $ 是 $ \odot O $ 的切线。
(2)解:
∵ $ A B $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ \therefore \angle A C B = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ A C = 8 $，$ B C = 6 $，$ \therefore A B = \sqrt { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } } = \sqrt { 8 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } } = 10 $，
$ \therefore O D = O A = O B = \frac { 1 } { 2 } A B = 5 $。
由
(1) 得 $ \angle A O D = \angle B O D = 90 ^ { \circ } $，
$ \therefore S _ { \text { 阴影 } } = S _ { \triangle A O D } + S _ { \text { 扇形 } B O D } = \frac { 1 } { 2 } × 5 × 5 + \frac { 90 × \pi × 5 ^ { 2 } } { 360 } = \frac { 25 } { 2 } + \frac { 25 \pi } { 4 } $，$ \therefore $ 图中阴影部分的面积是 $ \frac { 25 } { 2 } + \frac { 25 \pi } { 4 } $。
查看更多完整答案，请扫码查看
