《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m-1= 0$有两个实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设p是方程的一个实数根,且满足$(p^{2}-2p+3)(m+4)= 7$,求m的值.

答案： 1. 解：
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-2x+m-1=0$有两个实数根，
∴$\Delta \geq 0$，即$(-2)^{2}-4(m-1)\geq 0$，解得$m\leq 2$。
(2)
∵p是方程的一个实数根，
∴$p^{2}-2p+m-1=0$，
∴$p^{2}-2p=1-m$，
∵$(p^{2}-2p+3)(m+4)=7$，
∴$(1-m+3)(m+4)=7$，即$m^{2}=9$，
解得$m=3$或$m=-3$，
又由
(1)可知$m\leq 2$，
∴$m=-3$。

2. 已知关于x的方程$(m^{2}-4m+5)x^{2}-4x+n= 0$.
(1)圆圆说:“该方程一定为一元二次方程.”圆圆的结论正确吗?请说明理由.
(2)当$m= 2$时:
①若该方程有实数解,求n的取值范围;
②若该方程的两个实数解分别为$x_{1}和x_{2}$,且满足$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}= 23$,求n的值.

答案： 2. 解：
(1)圆圆的结论正确，理由如下：
∵$m^{2}-4m+5=m^{2}-4m+4+1=(m-2)^{2}+1\neq 0$，
∴该方程一定为一元二次方程，故圆圆的结论正确。
(2)当$m=2$时，原方程为$x^{2}-4x+n=0$。
①若该方程有实数解，则$\Delta =(-4)^{2}-4× 1\cdot n\geq 0$，
解得$n\leq 4$，
∴n的取值范围是$n\leq 4$。
②若该方程的两个实数解分别为$x_{1}$和$x_{2}$，
则$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=n$。
∵$(x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+n^{2}=23$，
∴$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})-4(x_{1}+x_{2})+8+n^{2}=23$，
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(x_{1}+x_{2})+8+n^{2}=23$，
∴$16-2n-16+8+n^{2}=23$，
整理得$n^{2}-2n-15=0$，解得$n=5$或$n=-3$，
∵$n\leq 4$，
∴n的值为$-3$。

3. 已知$x_{1},x_{2}是一元二次方程2x^{2}-2x+m+1= 0$的两个实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)如果$x_{1},x_{2}满足不等式4+6x_{1}x_{2}＞(x_{1}+x_{2})^{2}$,且m为整数,求m的值.

答案： 3. 解：
(1)
∵方程$2x^{2}-2x+m+1=0$有两个实数根，
∴$\Delta \geq 0$，即$(-2)^{2}-4× 2(m+1)\geq 0$，解得$m\leq -\frac{1}{2}$。
故实数m的取值范围是$m\leq -\frac{1}{2}$。
(2)
∵$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}-2x+m+1=0$的两个实根，$\therefore x_{1}+x_{2}=1$，$x_{1}\cdot x_{2}=\frac {1}{2}(m+1)$，$\because 4+6x_{1}x_{2}＞(x_{1}+x_{2})^{2}$，
$\therefore 4+6× \frac {1}{2}(m+1)＞1$，解得$m＞-2$。
又$\because m\leqslant -\frac {1}{2}$且$m$为整数，$\therefore m$的值为$-1$。