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1. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,⊙O 与边 AB,AC 的延长线及边 BC 相切,∠A,∠ABC,∠ACB 所对的边长依次为 3,4,5,则⊙O 的半径是
2
。
答案：
2
2. 如图,圆 O 是四边形 ABCD 的内切圆,连接 AO,BO,CO,DO,记△AOD,△AOB,△COB,△DOC 的面积分别为$ S_1,S_2,S_3,S_4,$则$ S_1,S_2,S_3,S_4 $的数量关系为______。
答案：
$S_{1}+S_{4}=S_{2}+S_{3}$ 解析:如答图,设切点分别为 $E,F,G,H$. 由题意知, $OE\perp AD$, $OF\perp CD$, $OG\perp BC$, $OH\perp AB$, $OE =OF=OG=OH=r$. 设 $DE=DF=a$, $AE=AH=b$, $BH =BG=c$, $CG=CF=d$, 则 $S_{1}=\frac{1}{2}r(a+b)$, $S_{2}=\frac{1}{2}r(b+c)$, $S_{3}=\frac{1}{2}r(c+d)$, $S_{4}=\frac{1}{2}r(a+d)$.
$\therefore S_{1}+S_{3}=\frac{1}{2}r(a+b)+\frac{1}{2}r(c+d)=\frac{1}{2}r(a+b+c+d)$, $S_{2}+S_{4}=\frac{1}{2}r(b+c)+\frac{1}{2}r(a+d)=\frac{1}{2}r(a+b+c+d)$, $\therefore S_{1}+S_{3}=S_{2}+S_{4}$.
$S_{1}+S_{4}=S_{2}+S_{3}$ 解析:如答图,设切点分别为 $E,F,G,H$. 由题意知, $OE\perp AD$, $OF\perp CD$, $OG\perp BC$, $OH\perp AB$, $OE =OF=OG=OH=r$. 设 $DE=DF=a$, $AE=AH=b$, $BH =BG=c$, $CG=CF=d$, 则 $S_{1}=\frac{1}{2}r(a+b)$, $S_{2}=\frac{1}{2}r(b+c)$, $S_{3}=\frac{1}{2}r(c+d)$, $S_{4}=\frac{1}{2}r(a+d)$.
$\therefore S_{1}+S_{3}=\frac{1}{2}r(a+b)+\frac{1}{2}r(c+d)=\frac{1}{2}r(a+b+c+d)$, $S_{2}+S_{4}=\frac{1}{2}r(b+c)+\frac{1}{2}r(a+d)=\frac{1}{2}r(a+b+c+d)$, $\therefore S_{1}+S_{3}=S_{2}+S_{4}$.
3. 如图①,在平面直角坐标系 xOy 中,过⊙T 外一点 P 引它的两条切线,切点分别为 M,N,若 60°≤∠MPN ＜ 180°,则称 P 为⊙T 的环绕点。
(1)如图②,当⊙O 的半径为 1 时,在点 P_1(1,0),P_2(1,1)中,⊙O 的环绕点是______；
(2)当⊙T 的半径为 1,圆心为(0,t)时,以点$(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m)(m ＞ 0)$为圆心,$\frac{\sqrt{3}}{3}m$为半径的所有圆构成图形 H,若在图形 H 上存在⊙T 的环绕点,求 t 的取值范围。
(1)如图②,当⊙O 的半径为 1 时,在点 P_1(1,0),P_2(1,1)中,⊙O 的环绕点是______；
(2)当⊙T 的半径为 1,圆心为(0,t)时,以点$(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m)(m ＞ 0)$为圆心,$\frac{\sqrt{3}}{3}m$为半径的所有圆构成图形 H,若在图形 H 上存在⊙T 的环绕点,求 t 的取值范围。
答案：
(1)点 $P_{2}$
(2)解:如答图,设 $E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)$, 则点 $E$ 在直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 上, $ \because m＞0 $, $ \therefore $ 点 $E$ 在射线 $OE$ 上运动. 作 $EM\perp x$ 轴, 垂足为 $M$.
$\because E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)$, $ \therefore OM=m $, $ EM=\frac{\sqrt{3}}{3}m $.
$\therefore $ 以点 $E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)(m＞0)$ 为圆心, $\frac{\sqrt{3}}{3}m$ 为半径的 $ \odot E $ 与 $x$ 轴相切. 作 $ \odot E $ 的切线 $ON$, 由图可知, 以点 $E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right) (m＞0)$ 为圆心, $\frac{\sqrt{3}}{3}m$ 为半径的所有圆构成的图形 $H$ 在 $ \angle MON $ 的内部, 包括射线 $OM$, $ON$, 不包括点 $O$. 当 $ \odot T $ 的圆心在 $y$ 轴的正半轴上时, 假设以点 $T$ 为圆心, 2 为半径的圆与射线 $ON$ 相切于点 $D$, 连接 $TD$.
容易得到 $ \angle EOM=30^{\circ} $,
$\because ON$, $OM$ 是 $ \odot E $ 的切线,
$\therefore \angle EON=\angle EOM=30^{\circ} $,
$\therefore \angle TOD=30^{\circ} $,
$\therefore OT=2DT=4$, $ \therefore T(0,4) $.
当 $ \odot T $ 的圆心在 $y$ 轴的负半轴上时, 若以点 $T$ 为圆心, 2 为半径的圆经过点 $O(0,0)$, 则 $T(0,-2)$.
由图可知, 当 $ -2＜t\leqslant 4 $ 时, 在图形 $H$ 上存在 $ \odot T $ 的环绕点.
(1)点 $P_{2}$
(2)解:如答图,设 $E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)$, 则点 $E$ 在直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 上, $ \because m＞0 $, $ \therefore $ 点 $E$ 在射线 $OE$ 上运动. 作 $EM\perp x$ 轴, 垂足为 $M$.
$\because E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)$, $ \therefore OM=m $, $ EM=\frac{\sqrt{3}}{3}m $.
$\therefore $ 以点 $E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right)(m＞0)$ 为圆心, $\frac{\sqrt{3}}{3}m$ 为半径的 $ \odot E $ 与 $x$ 轴相切. 作 $ \odot E $ 的切线 $ON$, 由图可知, 以点 $E\left(m,\frac{\sqrt{3}}{3}m\right) (m＞0)$ 为圆心, $\frac{\sqrt{3}}{3}m$ 为半径的所有圆构成的图形 $H$ 在 $ \angle MON $ 的内部, 包括射线 $OM$, $ON$, 不包括点 $O$. 当 $ \odot T $ 的圆心在 $y$ 轴的正半轴上时, 假设以点 $T$ 为圆心, 2 为半径的圆与射线 $ON$ 相切于点 $D$, 连接 $TD$.
容易得到 $ \angle EOM=30^{\circ} $,
$\because ON$, $OM$ 是 $ \odot E $ 的切线,
$\therefore \angle EON=\angle EOM=30^{\circ} $,
$\therefore \angle TOD=30^{\circ} $,
$\therefore OT=2DT=4$, $ \therefore T(0,4) $.
当 $ \odot T $ 的圆心在 $y$ 轴的负半轴上时, 若以点 $T$ 为圆心, 2 为半径的圆经过点 $O(0,0)$, 则 $T(0,-2)$.
由图可知, 当 $ -2＜t\leqslant 4 $ 时, 在图形 $H$ 上存在 $ \odot T $ 的环绕点.
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