《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 如图,AB 是$\odot O$的直径,$AB = 4$,C 为$\overset{\frown}{AB}$的三等分点(更靠近 A 点),点 P 是$\odot O$上的一个动点,取弦 AP 的中点 D,则线段 CD 的最大值为(D)

A.2
B.$\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3} + 1$

答案： D

2. 如图,点 P 是正六边形 ABCDEF 内一点,$AB = 4$,当$∠APB = 90^{\circ}$时,连接 PD,则线段 PD 的最小值是 。

答案：
$2\sqrt{13}-2$ 解析：$\because AB = 4,\angle APB = 90^{\circ},\therefore$ 点 $P$ 在以 $AB$ 为直径的圆弧上，如答图，取 $AB$ 的中点 $O$，连接 $OD$。当 $O,P,D$ 三点共线时，$PD$ 有最小值，连接 $BD$，过点 $C$ 作 $CH\perp BD$ 于点 $H$。
　　　　　　　
$\because$ 点 $O$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore OA = OB = OP = 4÷2 = 2$。
$\because$ 正六边形的每个内角为 $180^{\circ}×(6 - 2)÷6 = 120^{\circ}$，$CD = CB$，
$\therefore\angle CBD=(180^{\circ}-120^{\circ})÷2 = 30^{\circ},BD = 2BH$，
$\therefore\angle OBD = 120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
在 $Rt\triangle CBH$ 中，$CH=\frac{1}{2}CB = 2,BH = 2\sqrt{3}$，
$\therefore BD = 4\sqrt{3}$。在 $Rt\triangle OBD$ 中，$OD=\sqrt{2^{2}+(4\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{13},\therefore PD$ 的最小值为 $OD - OP = 2\sqrt{13}-2$。

3. 如图,E,F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满足$AE = DF$。连接 CF 交 BD 于点 G,连接 BE 交 AG 于点 H,连接 DH。若正方形的边长为 2,求线段 DH 长度的最小值。

答案：
解：如答图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = AD = CD,\angle BAD=\angle CDA,\angle ADG=\angle CDG$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle DCF$ 中，$\begin{cases}AB = CD,\\\angle BAD=\angle CDA,\\AE = DF,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle DCF(SAS),\therefore\angle1=\angle2$。
在 $\triangle ADG$ 和 $\triangle CDG$ 中，$\begin{cases}AD = CD,\\\angle ADG=\angle CDG,\\DG = DG,\end{cases}$
$\therefore\triangle ADG\cong\triangle CDG(SAS),\therefore\angle2=\angle3,\therefore\angle1=\angle3$。
$\because\angle BAH+\angle3=\angle BAD = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle1+\angle BAH = 90^{\circ},\therefore\angle AHB = 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$，
$\therefore$ 点 $H$ 在以 $AB$ 为直径的半圆（正方形 $ABCD$ 内部）上运动，取 $AB$ 的中点 $O$，连接 $OH,OD$，则 $OH = AO=\frac{1}{2}AB = 1$，在 $Rt\triangle AOD$ 中，$OD=\sqrt{AO^{2}+AD^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
$\because OH + DH\geq OD$，
$\therefore$ 当 $O,D,H$ 三点共线时，$DH$ 的长度最小，
此时 $DH = OD - OH=\sqrt{5}-1$。