《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 已知关于x的一元二次方程$(m - 1)x^{2}+(m - 4)x - 3 = 0$(m为实数且$m≠1$).
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)如果此方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.

答案： 1.
(1) 证明: 依题意, 得$ Δ=(m - 4)^2 - 4(m - 1)×(-3)=m^2 - 8m + 16 + 12m - 12 = m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2.$
∵$(m + 2)^2≥0, $
∴ 方程总有两个实数根.
(2) 解:
∵(x + 1)[(m - 1)x - 3]=0,
∴ x1 = -1, x2 = 3/(m - 1),
∵ 方程的两个实数根都是整数,
∴ m - 1 = ±1 或 m - 1 = ±3,
∵ m 是正整数,
∴ m = 2 或 m = 4.

2. 已知关于x的一元二次方程$mx^{2}+(2 + 3m)x+(2m + 2)= 0$(m为实数且$m≠0$).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若m为整数,当此方程有两个互不相等的负整数根时,求m的值.

答案： 2.
(1) 证明:
∵$Δ=(2 + 3m)^2 - 4m(2m + 2)=m^2 + 4m + 4=(m + 2)^2≥0,$
∴ 方程总有两个实数根.
(2) 解: 由方程$ mx^2 + (2 + 3m)x + (2m + 2)=0 $得,(x + 1)(mx + 2m + 2)=0,
∴ x1 = -1, x2 = -(2m + 2)/m.
∵ m 为整数, 且此方程有两个互不相等的负整数根,
∴ x2 = -(2m + 2)/m=-2/m - 2 为负整数, 且不等于 -1,则 m = 1 或 2.

3. 已知关于x的一元二次方程$(x - 2)(x - 3)-p^{2}= 0$,p为实数.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)p为何值时,方程有整数解？(写出三个即可)

答案： 3.
(1) 证明: 原方程可化为$ x^2 - 5x + 6 - p^2 = 0,$
∵$Δ=(-5)^2 - 4×(6 - p^2)=4p^2 + 1＞0,$
∴ 方程总有两个不相等的实数根.
(2) 解: 原方程可化为$ x^2 - 5x + 6 - p^2 = 0,$
∵ 方程有整数解,
∴$ x = [5±√(4p^2 + 1)]/2 $为整数即可,
∴ p 取 0, √2, -√2 时, 方程有整数解. (答案不唯一)