《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10$,$BC= 12$,$AD\perp BC$,$O为AC$的中点,$E为AD$上的一点,以点$O$为圆心,$OE长为半径作\odot O$。
(1)当$\odot O与BC$相切,且$DE＜AE$时,$DE$的长为______；
(2)求$\odot O与\triangle ABC的交点个数及对应的OE$的取值范围。

答案：

(1)$4 - \sqrt{7}$解析:如答图，过点O作$OM⊥AD$于点M，作$ON⊥BC$于点N，连接OE。
在等腰$\triangle ABC$中，$AB = AC = 10$，$AD⊥BC$，$BC = 12$，
$\therefore BD = DC = 6$。在$Rt\triangle ADC$中，O为AC的中点，$AC = 10$，$\therefore AO = CO = 5$，
由勾股定理得$AD = 8$。
$\because AD⊥OM$，$AD⊥CD$且O为AC的中点，$\therefore$M为AD的中点，$AM = DM = 4$。同理可知$OM = DN = 3$。
在$Rt\triangle OEM$中，$ME = \sqrt{OE^{2} - OM^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7}$，
$\therefore DE = MD - ME = 4 - \sqrt{7}$。
(2)解:由
(1)可知，OE最小为3(此时$OE⊥AD$)，$\because$O为定点，E为AD上的动点，且OE为$\odot O$的半径，$\therefore$OE最长为5。当$3\leq OE\lt4$时，$\odot O$与$\triangle ABC$有2个交点。
当$OE = 4$时，$\odot O$与$\triangle ABC$有3个交点。
当$4\lt OE\lt\frac{24}{5}$时，$\odot O$与$\triangle ABC$有4个交点。
当$OE = \frac{24}{5}$时，$\odot O$与AB边相切，$\odot O$与$\triangle ABC$有5个交点。
当$\frac{24}{5}\lt OE\lt5$时，$\odot O$与$\triangle ABC$有6个交点。
当$OE = 5$时，$\odot O$与$\triangle ABC$有4个交点。

2. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 4$,$BC= 6$。$E为射线CB$上一动点,以$DE为直径的\odot O交AD于点F$,过点$F作FG\perp AE于点G$。
(1)若$E为BC$的中点,求证：$FG为\odot O$的切线；
(2)若$CE= m$,求$\odot O与线段AB的交点个数及相应的m$的取值范围。

答案：

(1)证明:如答图①，连接EF，OF。
由矩形ABCD可得$∠B = ∠C$，$CD = BA$，$CB// DA$。
$\because$E为BC的中点，$\therefore CE = BE$，
$\therefore \triangle CDE\cong\triangle BAE(SAS)$，$\therefore ∠CED = ∠BEA$。
$\because CB// DA$，$\therefore ∠CED = ∠EDA$，$∠BEA = ∠EAD$。
在$\odot O$中，$\because OD = OF$，$\therefore ∠ODF = ∠OFD$，
$\therefore ∠OFD = ∠EAD$，$\therefore OF// EA$。
$\because FG⊥AE$，$\therefore OF⊥FG$。
$\because$点F在$\odot O$上，$\therefore$FG是$\odot O$的切线。
(2)解:如答图②，当$\odot O$与线段AB相切于点H时，连接HO并延长，交CD于点M。
$\because \odot O$与线段AB相切，$\therefore OH⊥AB$。
$\because$四边形ABCD是矩形，$\therefore CD// AB$，$\therefore OM⊥CD$，
$\therefore DM = CM = \frac{1}{2}CD = 2$。设$OD = OH = x$，则$OM = 6 - x$。
在$Rt\triangle DOM$中，根据勾股定理，得$OM^{2} + DM^{2} = OD^{2}$，
$\therefore (6 - x)^{2} + 2^{2} = x^{2}$，解得$x = \frac{10}{3}$，
$\therefore OM = 6 - x = 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$。
$\because$点M，O分别是CD，DE的中点，
$\therefore$OM是$\triangle CDE$的中位线，$\therefore OM = \frac{1}{2}CE = \frac{8}{3}$。
$\because CE = m$，$\therefore m = 2×\frac{8}{3} = \frac{16}{3}$，
$\therefore$当$m = \frac{16}{3}$时，$\odot O$与线段AB只有1个交点，
当$0\leq m\lt\frac{16}{3}$时，$\odot O$与线段AB没有交点。
如答图③，当点E与点B重合时，$CE = CB = 6$，即$m = 6$，此时$\odot O$与线段AB有2个交点。
如答图④，当$\frac{16}{3}\lt CE\lt6$，即$\frac{16}{3}\lt m\lt6$时，$\odot O$与线段AB有2个交点。
如答图⑤，当点E在点B的右侧时，$CE\gt CB = 6$，即$m\gt6$，此时$\odot O$与线段AB没有交点。
综上所述：当$0\leq m\lt\frac{16}{3}$或当$m\gt6$时，$\odot O$与线段AB没有交点；当$m = \frac{16}{3}$时，$\odot O$与线段AB有1个交点；当$\frac{16}{3}\lt m\leq6$时，$\odot O$与线段AB有2个交点。