《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 如图,在矩形 ABCD 中,$AD= 6,AB= 8$,AB 是$\odot O$的直径,将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转得到矩形$AB'C'D'$,且$AD'交\odot O$于点 E,$AB'交\odot O$于点 F,$D'C'与\odot O$相切于点 M.下列说法正确的有①②③④.(填序号)

答案： ①②③④

2. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,$AC= 8,BD= 6$,动点 P 在边AB 上运动,以点 O 为圆心、OP 为半径作$\odot O$,CQ 切$\odot O$于点 Q,则在点 P 运动过程中,切线 CQ 的最大值为$\frac{16}{5}$.

答案： $\frac{16}{5}$

3. 已知 AB 是$\odot O$的直径,点 P 在$\overset{\frown }{AB}$上(不与点 A,B 重合),把$△AOP$沿 OP 对折,点A 的对应点 C 恰好落在$\odot O$上,连接 BC.
(1)如图①,当点 P 在直径 AB 上方,而点 C 在直径 AB 下方时,求证:$OP// BC;$
(2)如图②,当点 P,C 都在直径 AB 上方时,过点 C 作$CD⊥AP$于点 D,且 CD 是$\odot O$的切线,求证:$AB= 4PD.$

答案：
证明:
(1)如答图，$\because \triangle AOP$沿$OP$对折，点$A$的对应点$C$恰好落在$\odot O$上，$\therefore \angle 1=\angle 2$，又$\because OA=OP$，$\therefore \angle A=\angle 1$，$\therefore \angle A=\angle 2$，$\because \angle A=\angle 3$，$\therefore \angle 2=\angle 3$，$\therefore OP// BC$；
(2)$\because CD$为$\odot O$的切线，$\therefore OC\perp CD$。又$\because AD\perp CD$，$\therefore OC// AD$，$\therefore \angle APO=\angle COP$。由折叠可得$\angle AOP=\angle COP$，$\therefore \angle APO=\angle AOP$。又$\because OA=OP$，$\therefore \angle A=\angle APO$，$\therefore \angle A=\angle APO=\angle AOP$，$\therefore \triangle APO$为等边三角形，$\therefore \angle AOP=\angle OAP=60^{\circ}$。又$\because OC// AD$，$\therefore \angle BOC=\angle OAP=60^{\circ}$。$\therefore \angle POC=180^{\circ}-(\angle AOP+\angle BOC)=60^{\circ}$，又$\because OP=OC$，$\therefore \triangle POC$也为等边三角形，$\therefore \angle PCO=60^{\circ}$，$PC=OP=OC$，又$\because \angle OCD=90^{\circ}$，$\therefore \angle PCD=30^{\circ}$，在$Rt\triangle PCD$中，$PD=\frac{1}{2}PC$，又$\because PC=OP=\frac{1}{2}AB$，$\therefore PD=\frac{1}{4}AB$，即$AB=4PD$。