《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 如图,在正方形ABCD中,$AB= 2$,点O是对角线AC,BD的交点,点E是CD的中点,连接BE.过点C作$CF⊥BE$,垂足为点F.连接OF.求OF的长.

答案：
1.解:如答图，过点O作OG⊥OF,交BE于点G.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=2,∠BCD=90°,OB=OC,∠CBO=∠DCO=45°,AC⊥BD.
　又
∵CF⊥BE,
∴B,O,F,C四点共圆，
∴∠OFB=∠OCB=45°.
∵OG⊥OF,
∴∠OGF=45°,
∴OG=OF.易证△OBG≌△OCF,
∴BG=CF.
∵E是CD的中点,CD=2,
∴CE=1,
∴$BE = \sqrt{BC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}　$
∵$S△BCE=\frac{1}{2}BC·CE=\frac{1}{2}BE·CF,　$
∴$\frac{1}{2}×2×1=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×CF,　$
∴$CF=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$由勾股定理得$BF = \sqrt{BC^{2} - CF^{2}} = \sqrt{2^{2} - (\frac{2\sqrt{5}}{5})^{2}} = \frac{4\sqrt{5}}{5},$
∴$GF=BF−BG=BF−CF=\frac{4\sqrt{5}}{5} - \frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
　在等腰直角△OGF中,OG² + OF² = FG²,
∴$OF²=\frac{1}{2}GF²=\frac{1}{2}×(\frac{2\sqrt{5}}{5})²=\frac{2}{5},$
∴$OF=\frac{\sqrt{10}}{5}.　　　　　　　$

2. (1)如图①,BD,CE是锐角$\triangle ABC$的高,连接DE,求证:$∠ADE= ∠ABC;$
(2)如图②,BD,CE,AF是锐角$\triangle ABC$的高,连接DE,EF,FD,猜想$∠EFB与∠DFC$之间存在的关系,并说明理由.

答案：
2.
(1)证明:如答图,取BC的中点M,连接EM,DM.
　　　　　　　　　
∵BD,CE是锐角△ABC的高,
∴∠BDC=∠BEC=90°,在Rt△BDC中,M是BC的中点，
∴DM=BM=CM;同理可证EM=BM=CM,
∴BM=EM=DM=CM,
∴B,C,D,E四点共圆,
∴∠ABC+∠EDC=180°.
∵∠EDC+∠ADE=180°,
∴∠ADE=∠ABC;
(2)解:猜想:∠EFB=∠DFC.同
(1)可知,A,C,F,E四点共圆，A,B,F,D四点共圆,
∴∠EFB=∠BAC,∠DFC=∠BAC,
∴∠EFB=∠DFC.