《2025年启东中学作业本九年级数学上册苏科版宿迁专版》

1. 用换元法解下列方程:
(1)$(x^{2}-x)^{2}-4(x^{2}-x)-12= 0;$ (2)$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)= 120.$

答案： 1. 解：
(1)设$x^{2}-x=m$，则原方程可化为$m^{2}-4m-12=0$，解得$m=-2$或$m=6$。
当$m=-2$时，$x^{2}-x=-2$，
即$x^{2}-x+2=0$，$b^{2}-4ac=1-8＜0$，
此时方程没有实数根；
当$m=6$时，$x^{2}-x=6$，
即$x^{2}-x-6=0$，$(x-3)(x+2)=0$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-2$。
故原方程的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=-2$。
(2)$[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=120$，
$(x^{2}+5x+4)(x^{2}+5x+6)=120$，
设$x^{2}+5x+4=y$，则$y(y+2)=120$，
$\therefore y^{2}+2y-120=0$，解得$y=10$或$y=-12$。
当$y=10$时，$x^{2}+5x+4=10$，$x^{2}+5x-6=0$，
解得$x_{1}=-6$，$x_{2}=1$；
当$y=-12$时，$x^{2}+5x+4=-12$，$x^{2}+5x+16=0$，
$b^{2}-4ac=25-64=-39＜0$，此时方程无实数根。
故原方程的解为$x_{1}=-6$，$x_{2}=1$。

2. 解方程:$(x^{2}+3x-4)^{2}+(2x^{2}-7x+6)^{2}= (3x^{2}-4x+2)^{2}.$

答案： 2. 解：设$u=x^{2}+3x-4$，$v=2x^{2}-7x+6$，
则原方程可化为$u^{2}+v^{2}=(u+v)^{2}$，$\therefore uv=0$，
即$x^{2}+3x-4=0$或$2x^{2}-7x+6=0$，
解得$x_{1}=-4$，$x_{2}=1$，$x_{3}=\frac{3}{2}$，$x_{4}=2$。

3. 已知x是实数,且满足$\frac {3}{x^{2}+2x}-x^{2}-2x= 2$,求$x^{2}+2x$的值.

答案： 3. 解：设$x^{2}+2x=a$，则原方程可化为$\frac{3}{a}-a=2$，
整理得$(a+1)^{2}=4$，解得$a=1$或$a=-3$。
当$a=-3$时，方程$x^{2}+2x=-3$无解，
$\therefore x^{2}+2x$的值是1。