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23. (10分)已知D, E分别为△ABC中AB, BC上的动点, 直线DE与直线AC相交于F, ∠ADE的平分线与∠B的平分线相交于P, ∠ACB的平分线与∠F的平分线相交于Q.
(1)如图1, 当F在AC的延长线上时, 求∠P与∠Q之间的数量关系;
(2)如图2, 当F在AC的反向延长线上时, 求∠P与∠Q之间的数量关系(用等式表示).
(1)如图1, 当F在AC的延长线上时, 求∠P与∠Q之间的数量关系;
(2)如图2, 当F在AC的反向延长线上时, 求∠P与∠Q之间的数量关系(用等式表示).
答案：
1. （1）
设$\angle ADE = 2\alpha$，$\angle ABC = 2\beta$，$\angle ACB = 2\gamma$，$\angle F = 2\theta$。
根据三角形外角性质：
在$\triangle BDE$中，$\angle ADE=\angle ABC + \angle BED$，则$\angle BED=2\alpha - 2\beta$。
在$\triangle CEF$中，$\angle BED=\angle ACB+\angle F$，即$2\alpha - 2\beta=2\gamma + 2\theta$，化简得$\alpha=\beta+\gamma+\theta$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$DP$平分$\angle ADE$，所以$\angle PBD = \beta$，$\angle PDA=\alpha$。
在$\triangle BDP$中，$\angle P+\angle PBD=\angle PDA$，所以$\angle P=\alpha - \beta$。
又因为$CQ$平分$\angle ACB$，$FQ$平分$\angle F$，所以$\angle QCF=\gamma$，$\angle QFC = \theta$。
在$\triangle CQF$中，$\angle Q+\angle QFC=\angle QCF$，所以$\angle Q=\gamma-\theta$。
由$\alpha=\beta+\gamma+\theta$可得$\angle P=\angle Q + 90^{\circ}$（因为$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，这里通过外角关系转化，$\angle P=\frac{1}{2}\angle ADE-\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle F$，再利用$\angle ADE=\angle ABC+\angle ACB+\angle F$（外角和定理），$\angle P=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB+\angle F)-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle F)$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle F$，$\angle P+\angle Q=\angle ACB$，又$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle ADE=\angle ABC+\angle BED$，$\angle BED=\angle ACB+\angle F$，$\angle P = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle A$，$\angle P=\angle Q + 90^{\circ}$）。
2. （2）
设$\angle ADE = 2\alpha$，$\angle ABC = 2\beta$，$\angle ACB = 2\gamma$，$\angle F = 2\theta$。
根据三角形外角性质：
在$\triangle BDE$中，$\angle ADE+\angle ABC=\angle BED$（$\angle BED$为外角），在$\triangle CEF$中，$\angle BED+\angle F=\angle ACB$，即$2\alpha+2\beta + 2\theta=2\gamma$，$\alpha+\beta+\theta=\gamma$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$DP$平分$\angle ADE$，所以$\angle PBD=\beta$，$\angle PDA = \alpha$，在$\triangle BDP$中，$\angle P+\angle PBD=\angle PDA$，$\angle P=\alpha - \beta$。
因为$CQ$平分$\angle ACB$，$FQ$平分$\angle F$，所以$\angle QCF=\gamma$，$\angle QFC=\theta$，在$\triangle CQF$中，$\angle Q+\angle QFC=\angle QCF$，$\angle Q=\gamma-\theta$。
把$\gamma=\alpha+\beta+\theta$代入$\angle Q$得：$\angle Q=\alpha+\beta$。
又$\angle P=\alpha - \beta$，所以$\angle P+\angle Q=\ 90^{\circ}$（利用三角形内角和与外角关系，$\angle ADE+\angle ABC+\angle ACB+\angle F = 180^{\circ}$（四边形内角和，这里$A$点处可看作$180^{\circ}$平角，$\angle ADE$与$\angle ADB$互补，$\angle ABC$，$\angle ACB$，$\angle F$和$\angle ADB$构成四边形内角和），$\angle P=\frac{1}{2}\angle ADE-\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle F$，再通过$\angle ADE+\angle ABC+\angle ACB+\angle F = 180^{\circ}$，$\angle P+\angle Q=\frac{1}{2}(\angle ADE+\angle ACB)-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle F)$，由$\angle ADE+\angle ABC=\angle BED$，$\angle BED+\angle F=\angle ACB$可得$\angle ADE+\angle F=\angle ACB - \angle ABC$，最终$\angle P+\angle Q = 90^{\circ}$）。
综上，（1）$\angle P=\angle Q + 90^{\circ}$；（2）$\angle P+\angle Q = 90^{\circ}$。
设$\angle ADE = 2\alpha$，$\angle ABC = 2\beta$，$\angle ACB = 2\gamma$，$\angle F = 2\theta$。
根据三角形外角性质：
在$\triangle BDE$中，$\angle ADE=\angle ABC + \angle BED$，则$\angle BED=2\alpha - 2\beta$。
在$\triangle CEF$中，$\angle BED=\angle ACB+\angle F$，即$2\alpha - 2\beta=2\gamma + 2\theta$，化简得$\alpha=\beta+\gamma+\theta$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$DP$平分$\angle ADE$，所以$\angle PBD = \beta$，$\angle PDA=\alpha$。
在$\triangle BDP$中，$\angle P+\angle PBD=\angle PDA$，所以$\angle P=\alpha - \beta$。
又因为$CQ$平分$\angle ACB$，$FQ$平分$\angle F$，所以$\angle QCF=\gamma$，$\angle QFC = \theta$。
在$\triangle CQF$中，$\angle Q+\angle QFC=\angle QCF$，所以$\angle Q=\gamma-\theta$。
由$\alpha=\beta+\gamma+\theta$可得$\angle P=\angle Q + 90^{\circ}$（因为$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，这里通过外角关系转化，$\angle P=\frac{1}{2}\angle ADE-\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle F$，再利用$\angle ADE=\angle ABC+\angle ACB+\angle F$（外角和定理），$\angle P=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB+\angle F)-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle F)$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle F$，$\angle P+\angle Q=\angle ACB$，又$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，$\angle ADE=\angle ABC+\angle BED$，$\angle BED=\angle ACB+\angle F$，$\angle P = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle A$，$\angle P=\angle Q + 90^{\circ}$）。
2. （2）
设$\angle ADE = 2\alpha$，$\angle ABC = 2\beta$，$\angle ACB = 2\gamma$，$\angle F = 2\theta$。
根据三角形外角性质：
在$\triangle BDE$中，$\angle ADE+\angle ABC=\angle BED$（$\angle BED$为外角），在$\triangle CEF$中，$\angle BED+\angle F=\angle ACB$，即$2\alpha+2\beta + 2\theta=2\gamma$，$\alpha+\beta+\theta=\gamma$。
因为$BP$平分$\angle ABC$，$DP$平分$\angle ADE$，所以$\angle PBD=\beta$，$\angle PDA = \alpha$，在$\triangle BDP$中，$\angle P+\angle PBD=\angle PDA$，$\angle P=\alpha - \beta$。
因为$CQ$平分$\angle ACB$，$FQ$平分$\angle F$，所以$\angle QCF=\gamma$，$\angle QFC=\theta$，在$\triangle CQF$中，$\angle Q+\angle QFC=\angle QCF$，$\angle Q=\gamma-\theta$。
把$\gamma=\alpha+\beta+\theta$代入$\angle Q$得：$\angle Q=\alpha+\beta$。
又$\angle P=\alpha - \beta$，所以$\angle P+\angle Q=\ 90^{\circ}$（利用三角形内角和与外角关系，$\angle ADE+\angle ABC+\angle ACB+\angle F = 180^{\circ}$（四边形内角和，这里$A$点处可看作$180^{\circ}$平角，$\angle ADE$与$\angle ADB$互补，$\angle ABC$，$\angle ACB$，$\angle F$和$\angle ADB$构成四边形内角和），$\angle P=\frac{1}{2}\angle ADE-\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle Q=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle F$，再通过$\angle ADE+\angle ABC+\angle ACB+\angle F = 180^{\circ}$，$\angle P+\angle Q=\frac{1}{2}(\angle ADE+\angle ACB)-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle F)$，由$\angle ADE+\angle ABC=\angle BED$，$\angle BED+\angle F=\angle ACB$可得$\angle ADE+\angle F=\angle ACB - \angle ABC$，最终$\angle P+\angle Q = 90^{\circ}$）。
综上，（1）$\angle P=\angle Q + 90^{\circ}$；（2）$\angle P+\angle Q = 90^{\circ}$。
24. (12分)小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论:
在Rt△ABC中, ∠A=90°, BD平分∠ABC, M为直线AC上一点, ME⊥BC, E为垂足, ∠AME的平分线交直线AB于点F.
(1)如图1, M为边AC上一点, 则BD, MF的位置关系是______
(2)如图2, M为边AC反向延长线上一点, 则BD, MF的位置关系是______
(3)如图3, M为边AC延长线上一点, 则BD, MF的位置关系是______
在Rt△ABC中, ∠A=90°, BD平分∠ABC, M为直线AC上一点, ME⊥BC, E为垂足, ∠AME的平分线交直线AB于点F.
(1)如图1, M为边AC上一点, 则BD, MF的位置关系是______
BD//MF
, 并证明;(2)如图2, M为边AC反向延长线上一点, 则BD, MF的位置关系是______
BD⊥MF
, 并证明;(3)如图3, M为边AC延长线上一点, 则BD, MF的位置关系是______
BD⊥MF
, 并证明;
答案：
$(1)$ $BD// MF$
解：
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$ME\perp BC$，所以$\angle A=\angle MEC = 90^{\circ}$。
根据四边形内角和为$360^{\circ}$，在四边形$ABEM$中，$\angle ABC+\angle AME=360^{\circ}-\angle A - \angle MEC=180^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$MF$平分$\angle AME$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle AMF=\frac{1}{2}\angle AME$。
则$\angle ABD+\angle AMF=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle AME)=90^{\circ}$。
又因为在$\triangle AFM$中，$\angle AFM+\angle AMF = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），所以$\angle ABD=\angle AFM$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$BD// MF$。
$(2)$ $BD\perp MF$
解：
设$MF$交$BD$于点$G$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$ME\perp BC$，所以$\angle A=\angle MEC = 90^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle C=\angle AME+\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle AME$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$MF$平分$\angle AME$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle AMF=\frac{1}{2}\angle AME$，即$\angle ABD=\angle AMF$。
又因为$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），$\angle ADB=\angle MDG$（对顶角相等），所以$\angle AMF+\angle MDG = 90^{\circ}$。
在$\triangle MGD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle MGD=180^{\circ}-(\angle AMF+\angle MDG)=90^{\circ}$，所以$BD\perp MF$。
$(3)$ $BD\perp MF$
解：
设$MF$交$BD$的延长线于点$H$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$ME\perp BC$，所以$\angle A=\angle MEC = 90^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB=\angle AME+\angle ACM = 90^{\circ}$，又因为$\angle ACB=\angle ACM$（对顶角相等），所以$\angle ABC=\angle AME$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$MF$平分$\angle AME$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle AMF=\frac{1}{2}\angle AME$，即$\angle ABD=\angle AMF$。
因为$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），$\angle ADB=\angle MDH$（对顶角相等），所以$\angle AMF+\angle MDH = 90^{\circ}$。
在$\triangle MHD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle MHD=180^{\circ}-(\angle AMF+\angle MDH)=90^{\circ}$，所以$BD\perp MF$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{BD// MF}$；$(2)$$\boldsymbol{BD\perp MF}$；$(3)$$\boldsymbol{BD\perp MF}$。
解：
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$ME\perp BC$，所以$\angle A=\angle MEC = 90^{\circ}$。
根据四边形内角和为$360^{\circ}$，在四边形$ABEM$中，$\angle ABC+\angle AME=360^{\circ}-\angle A - \angle MEC=180^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$MF$平分$\angle AME$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle AMF=\frac{1}{2}\angle AME$。
则$\angle ABD+\angle AMF=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle AME)=90^{\circ}$。
又因为在$\triangle AFM$中，$\angle AFM+\angle AMF = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），所以$\angle ABD=\angle AFM$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$BD// MF$。
$(2)$ $BD\perp MF$
解：
设$MF$交$BD$于点$G$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$ME\perp BC$，所以$\angle A=\angle MEC = 90^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle C=\angle AME+\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle AME$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$MF$平分$\angle AME$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle AMF=\frac{1}{2}\angle AME$，即$\angle ABD=\angle AMF$。
又因为$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），$\angle ADB=\angle MDG$（对顶角相等），所以$\angle AMF+\angle MDG = 90^{\circ}$。
在$\triangle MGD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle MGD=180^{\circ}-(\angle AMF+\angle MDG)=90^{\circ}$，所以$BD\perp MF$。
$(3)$ $BD\perp MF$
解：
设$MF$交$BD$的延长线于点$H$。
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$ME\perp BC$，所以$\angle A=\angle MEC = 90^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB=\angle AME+\angle ACM = 90^{\circ}$，又因为$\angle ACB=\angle ACM$（对顶角相等），所以$\angle ABC=\angle AME$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$MF$平分$\angle AME$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle AMF=\frac{1}{2}\angle AME$，即$\angle ABD=\angle AMF$。
因为$\angle ABD+\angle ADB = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），$\angle ADB=\angle MDH$（对顶角相等），所以$\angle AMF+\angle MDH = 90^{\circ}$。
在$\triangle MHD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle MHD=180^{\circ}-(\angle AMF+\angle MDH)=90^{\circ}$，所以$BD\perp MF$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{BD// MF}$；$(2)$$\boldsymbol{BD\perp MF}$；$(3)$$\boldsymbol{BD\perp MF}$。
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