《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

19. (8分)如图,某同学用直尺与圆规用此方法作$\angle AOB$的平分线,试说明理由.

答案： 证明：
∵$∠ACP = ∠AOB$，
∴$CP//OB$，
又
∵$OC = CP$，
∴$∠COP = ∠CPO$，
∴$∠CPO = ∠POB$，
∴$∠AOP = ∠BOP$。

20. (8分)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 2\angle B$,$\angle BAC$的平分线$AD$交$BC$于$D$,过$C$作$CN\perp AD$交$AD$于$H$,交$AB$于$N$.
(1) 求证:$\triangle ANC$为等腰三角形;
(2) 试判断$BN$与$CD$的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)易证$△AHN≌△AHC(ASA)$，
∴$AN = AC$，
∴$△ANC$为等腰三角形；
(2)连接DN，
易证$△ADC≌△ADN(SAS)$，
∴$∠ACB = ∠AND = 2∠B$，
∴$∠B = ∠NDB$，
∴$NB = ND = CD$。

21. (8分)(1)在图1中画格点$P$,使$\angle PAB = 45^{\circ}$;
(2)如图2,$A$,$B$,$C$为格点,$BC = 5$,在$BC$上作点$E$使$AE = 2.4$;
(3)在图3中,若点$M$是$AC$上任意一点,在$AB$上画点$G$,使$MG// BC$.

答案：
如图所示

22. (10分)在$\triangle ABC$中,$AB = CB$.

(1)若$AC = AB$,如图1,$CM\perp AB$于点$M$,$MN\perp AC$于点$N$,$NP\perp BC$于点$P$.若$CP = 2$,则$BP = $$\frac{10}{3}$;
(2)若$\angle BAC = 45^{\circ}$,如图2,$CD$平分$\angle ACB$交$AB$于点$D$,过边$AC$上一点$E$作$EF// CD$,交$AB$于点$F$,$AG$是$\triangle AEF$的高,探究$AG$与边$EF$的数量关系;
(3)若$\angle ABC = 90^{\circ}$,点$E$是射线$BC$上的一个动点,作$AF\perp AE$且$AF = AE$,连$CF$交直线$AB$于点$G$.若$\frac{BC}{CE}=\frac{5}{3}$,则$\frac{AG}{BG}=$$\frac{7}{3}$或$\frac{13}{3}$.

答案：
(1)$BP = \frac{10}{3}$，
(2)$AG = \frac{1}{2}EF$。理由如下
∵$AB = CB$，
∴$∠ACB = ∠BAC = 45^{\circ}$，
∴$∠ABC = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$，
∵CD平分$∠ACB$，
∴$∠ACD = \frac{1}{2}∠ACB$，
∵$EF//CD$，
∴$∠AEF = ∠ACD = \frac{1}{2}∠ACB$，作$ET//CB$，交AB于T，交AG延长线于点K，则$∠AET = ∠ACB = 45^{\circ}$，$∠ATE = ∠ABC = 90^{\circ}$，
∴$∠AEF = ∠KEF$，
∵$EF⊥AK$，
∴$∠AGE = ∠KGE = 90^{\circ}$，
∴$∠EAG = ∠EKG$，
∴$EA = EK$，
∴$AG = KG = \frac{1}{2}AK$，
∵$∠AGE = ∠ATE = 90^{\circ}$，$∠AFG = ∠EFT$，
∴$∠KAT = ∠FET$，在$△KAT$和$△FET$中，$\begin{cases}∠KAT = ∠FET \\ AT = ET \\ ∠ATK = ∠ETF \end{cases}$，
∴$△KAT≌△FET(ASA)$，
∴$AK = EF$，
∵$AG = \frac{1}{2}AK$，
∴$AG = \frac{1}{2}EF$；
(3)$\frac{AG}{BG} = \frac{7}{3}$或$\frac{13}{3}$。
(注：本第
(2)小题其它证明方法相应给分)