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10. 如图, ∠ABC=∠ACB, BD, CD, BE分别平分∠ABC, 外角∠ACP, 外角∠MBC, 以下结论: ①AD//BC; ②DB⊥BE; ③∠BDC+∠ABC=90°; ④∠BAC+2∠BEC=180°; ⑤DB平分∠ADC, 其中正确的结论有(
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
C
)A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
答案：
10.C
11. 在△ABC中, ∠A是∠B的2倍, ∠C比∠A+∠B还大12°, 则这个三角形是______三角形.
钝角
答案：
11.钝角
12. 如图, 点B, C, E, F在一直线上, AB//DC, DE//GF, ∠B=∠F=72°, 则∠D=
36
度.
答案：
12.36
13. 如图, x=
60
.
答案：
13.60
14. 等腰三角形的两边长为6cm, 13cm, 则它的周长是______
32 cm
.
答案：
14.32 cm
15. 一幅三角板△ABC, △ADE, 如图放置. 则∠1, ∠2, α之间关系为
∠1-∠2+α=105°
.
答案：
15.$\angle 1-\angle 2+\alpha =105^{\circ }$
16. 如图所示, △ABC中, BD平分∠ABC, CE平分∠ACB的邻补角∠ACM, 若∠BDC=130°, ∠E=50°, 则∠BAC的度数是______
120°
.
答案：
16.$120^{\circ }$
17. (8分)用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形, 如果腰长是底边长的2倍, 那么各边的长是多少?
答案：
17.设底边长为$x$ cm，则腰长为$2x$ cm.
$x+2x+2x=18$，解得$x=3.6$.
答：三边长分别为$3.6$ cm，$7.2$ cm，$7.2$ cm.
$x+2x+2x=18$，解得$x=3.6$.
答：三边长分别为$3.6$ cm，$7.2$ cm，$7.2$ cm.
18. (8分)如图, 钝角△ABC.
(1)过A作AE⊥BC, 过B作BF⊥AC, 垂足分别为E, F, AE, BF相交于H;
(2)过A作AM//BC, 过B作BM//AC, 相交于M;
(3)若∠AMB=115°, 求∠AHB.
(1)过A作AE⊥BC, 过B作BF⊥AC, 垂足分别为E, F, AE, BF相交于H;
(2)过A作AM//BC, 过B作BM//AC, 相交于M;
(3)若∠AMB=115°, 求∠AHB.
答案：
1. 首先，证明四边形$AMBC$是平行四边形：
已知$AM// BC$，$BM// AC$，根据平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），所以四边形$AMBC$是平行四边形。
那么$\angle C=\angle AMB$（平行四边形的对角相等）。
因为$\angle AMB = 115^{\circ}$，所以$\angle C = 115^{\circ}$。
2. 然后，在四边形$CEHF$中：
因为$AE\perp BC$，$BF\perp AC$，所以$\angle HEC = 90^{\circ}$，$\angle HFC = 90^{\circ}$。
根据四边形内角和公式$\angle HEC+\angle HFC+\angle C+\angle EHF = 360^{\circ}$（$n$边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，这里$n = 4$，$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$）。
把$\angle HEC = 90^{\circ}$，$\angle HFC = 90^{\circ}$，$\angle C = 115^{\circ}$代入上式得：$90^{\circ}+90^{\circ}+115^{\circ}+\angle EHF = 360^{\circ}$。
则$\angle EHF=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}+115^{\circ})=65^{\circ}$。
3. 最后，求$\angle AHB$：
因为$\angle AHB$与$\angle EHF$是对顶角，根据对顶角相等（$\angle AHB$和$\angle EHF$是对顶角，对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角），$\angle AHB=\angle EHF$。
所以$\angle AHB = 65^{\circ}$。
已知$AM// BC$，$BM// AC$，根据平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），所以四边形$AMBC$是平行四边形。
那么$\angle C=\angle AMB$（平行四边形的对角相等）。
因为$\angle AMB = 115^{\circ}$，所以$\angle C = 115^{\circ}$。
2. 然后，在四边形$CEHF$中：
因为$AE\perp BC$，$BF\perp AC$，所以$\angle HEC = 90^{\circ}$，$\angle HFC = 90^{\circ}$。
根据四边形内角和公式$\angle HEC+\angle HFC+\angle C+\angle EHF = 360^{\circ}$（$n$边形内角和公式$(n - 2)×180^{\circ}$，这里$n = 4$，$(4 - 2)×180^{\circ}=360^{\circ}$）。
把$\angle HEC = 90^{\circ}$，$\angle HFC = 90^{\circ}$，$\angle C = 115^{\circ}$代入上式得：$90^{\circ}+90^{\circ}+115^{\circ}+\angle EHF = 360^{\circ}$。
则$\angle EHF=360^{\circ}-(90^{\circ}+90^{\circ}+115^{\circ})=65^{\circ}$。
3. 最后，求$\angle AHB$：
因为$\angle AHB$与$\angle EHF$是对顶角，根据对顶角相等（$\angle AHB$和$\angle EHF$是对顶角，对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角），$\angle AHB=\angle EHF$。
所以$\angle AHB = 65^{\circ}$。
19. (8分)利用无刻度直尺作图.
(1)如图1, A, B在格点上, 作一个格点C, 使△ABC面积为5;
(2)如图2, A, B, C在格点上, 作格点D, 使四边形ABCD面积为7.5;
(3)如图3, 在4×4的网格上, A, B为格点, 找出所有格点C, 使$S_{△ABC}=1.$
(1)如图1, A, B在格点上, 作一个格点C, 使△ABC面积为5;
(2)如图2, A, B, C在格点上, 作格点D, 使四边形ABCD面积为7.5;
(3)如图3, 在4×4的网格上, A, B为格点, 找出所有格点C, 使$S_{△ABC}=1.$
答案：
1. （1）
解：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$。
已知$A$，$B$在格点上，若以$AB$为底，设$AB$的水平距离为$a$，垂直距离为$b$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× h = 5$。
假设$AB$横向占$4$个单位长度，纵向占$2$个单位长度（可通过勾股定理算$AB$长度，但这里用面积关系），我们可以让$C$到$AB$的距离$h=\frac{5×2}{AB}$（这里用等积法思路）。
一种方法：将$A$向上平移$2$个单位，再向右平移$1$个单位得到$C$（答案不唯一）。
2. （2）
解：先计算$\triangle ABC$的面积，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，根据$S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)\right|$（格点三角形面积也可用割补法）。
假设$\triangle ABC$面积为$S_1$，设$S_{ABCD}=S_1 + S_{\triangle ABD}=7.5$。
先算出$\triangle ABC$面积（用割补法：$\triangle ABC$占$3$个小正方形，面积$S_{\triangle ABC}= 3$），则$S_{\triangle ABD}=7.5 - 3=4.5$。
把$B$向上平移$3$个单位，再向右平移$1$个单位得到$D$（答案不唯一）。
3. （3）
解：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，根据$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×底×高 = 1$。
若以$AB$为底，设$AB$的水平距离为$m$，垂直距离为$n$，$S=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}+n^{2}}× h = 1$（这里也可用格点关系）。
当$AB$横向距离为$2$，纵向距离为$1$时：
过$A$作与$AB$垂直且距离为$\frac{2×1}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}$（根据面积公式$S = \frac{1}{2}× AB× h$，$AB=\sqrt{5}$，$h=\frac{2}{\sqrt{5}}$，通过格点关系找），符合条件的$C$点有$6$个（分别在$A$，$B$所在直线的两侧，通过上下左右平移$1$个单位等方式得到）。
（1）、（2）题答案不唯一，（3）题符合条件的格点$C$有$6$个。
解：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$。
已知$A$，$B$在格点上，若以$AB$为底，设$AB$的水平距离为$a$，垂直距离为$b$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× h = 5$。
假设$AB$横向占$4$个单位长度，纵向占$2$个单位长度（可通过勾股定理算$AB$长度，但这里用面积关系），我们可以让$C$到$AB$的距离$h=\frac{5×2}{AB}$（这里用等积法思路）。
一种方法：将$A$向上平移$2$个单位，再向右平移$1$个单位得到$C$（答案不唯一）。
2. （2）
解：先计算$\triangle ABC$的面积，设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，根据$S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)\right|$（格点三角形面积也可用割补法）。
假设$\triangle ABC$面积为$S_1$，设$S_{ABCD}=S_1 + S_{\triangle ABD}=7.5$。
先算出$\triangle ABC$面积（用割补法：$\triangle ABC$占$3$个小正方形，面积$S_{\triangle ABC}= 3$），则$S_{\triangle ABD}=7.5 - 3=4.5$。
把$B$向上平移$3$个单位，再向右平移$1$个单位得到$D$（答案不唯一）。
3. （3）
解：设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，根据$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×底×高 = 1$。
若以$AB$为底，设$AB$的水平距离为$m$，垂直距离为$n$，$S=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}+n^{2}}× h = 1$（这里也可用格点关系）。
当$AB$横向距离为$2$，纵向距离为$1$时：
过$A$作与$AB$垂直且距离为$\frac{2×1}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}$（根据面积公式$S = \frac{1}{2}× AB× h$，$AB=\sqrt{5}$，$h=\frac{2}{\sqrt{5}}$，通过格点关系找），符合条件的$C$点有$6$个（分别在$A$，$B$所在直线的两侧，通过上下左右平移$1$个单位等方式得到）。
（1）、（2）题答案不唯一，（3）题符合条件的格点$C$有$6$个。
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