《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

23. (10分)如图1,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,点$D$是$\triangle ABC$内一点,$DB = DC$,$\angle DCB = 30^{\circ}$,点$E$是$BD$延长线上一点,$AE = AB$.
(1)直接写出$\angle ADE$的度数____60°;
(2)求证:$DE = AD + DC$;
(3)作$BP$平分$\angle ABE$,$EF\perp BP$,垂足为$F$(如图2),若$EF = 3$,求$BP$的长.6

答案：
(1)$60^{\circ}$；
(2)在DE上取一点M，使$AD = DM$，连接AM，则$△ABD≌△AEM$，
∴$BD = EM$，
∴$DE = DM + ME = AD + BD = AD + DC$；
(3)延长EF交BA的延长线于N点，易证$BP = EN = 2EF = 6$。

24. (12分)如图1,$A$是$OB$的垂直平分线上一点,$P$为$y$轴上一点且$\angle OPB=\angle OAB$.
(1)若$\angle AOB = 60^{\circ}$,$PB = 4$,求点$P$的坐标;
(2)在(1)的条件下,求证:$PA + PO = PB$;
(3)如图2,若点$A$是$OB$的垂直平分线上一点,已知$A(2,5)$,$\angle OPB=\angle OAB$,求$PO + PB$的值.

答案：
(1)P点坐标为$(0, 2)$；
(2)在PB上取一点E，使$OP = OE$，
在$△POA$和$△EOB$中，
$\begin{cases}OP = OE \\ ∠POA = ∠EOB \\ OA = OB \end{cases}$，
∴$△POA≌△EOB(SAS)$，
∴$PA = EB$，
∴$PB = PE + EB = PO + PA$；
(3)延长BA交y轴于点D，过A作$AH⊥x$轴，$AE⊥y$轴，
∵$OA = AB$，$∠AOB = ∠ABO$，
∵$∠ABO + ∠ODB = ∠AOB + ∠AOD = 90^{\circ}$，
∴$∠AOD = ∠ODB$，
∴$∠ODB = ∠ABP$，
∴$AD = OA$，$BP = PD$，
∴E为OD中点，
∵$OE = AH = 5$，
∴$PO + PB = PO + PD = OD = 2OE = 10$。