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23.(10分)在平面直角坐标系中,已知$A(-m,0),B(0,n),C(m,0)$.
(1)如图1,若$AC=AB,CM⊥AB$于点M,$MN// y$轴交AO于点$N(-2,0)$,则$m=$
(2)如图2,若$m^{2}-2mn+n^{2}=0,∠ACB$的平分线CD交AB于点D,过AC上一点E作$EF// CD$,交AB于点F,AG是$\triangle AEF$的高,探究AG与EF的数量关系;
AG与EF的数量关系为
(3)如图3,在(1)的条件下,AC上点H满足$\frac {AH}{CH}=\frac {MA}{MC}$,直线MH交y轴于点Q,求Q的坐标.
Q的坐标为
(1)如图1,若$AC=AB,CM⊥AB$于点M,$MN// y$轴交AO于点$N(-2,0)$,则$m=$
4
;(2)如图2,若$m^{2}-2mn+n^{2}=0,∠ACB$的平分线CD交AB于点D,过AC上一点E作$EF// CD$,交AB于点F,AG是$\triangle AEF$的高,探究AG与EF的数量关系;
AG与EF的数量关系为
$AG = \frac{1}{2}EF$
(3)如图3,在(1)的条件下,AC上点H满足$\frac {AH}{CH}=\frac {MA}{MC}$,直线MH交y轴于点Q,求Q的坐标.
Q的坐标为
$(0,-4)$
答案：
23.
(1)$ m = 4 $；
(2)$ AG = \frac { 1 } { 2 } EF $.
证明：
∵ $ m ^ { 2 } - 2 m n + n ^ { 2 } = 0 $，
∴ $ ( m - n ) ^ { 2 } = 0 $，
∴ $ m - n = 0 $，
∴ $ n = m $，
∵ $ A ( m, 0 ) $，$ B ( 0, n ) $，
∴ $ O A = O B $，
∵ $ \angle A O B = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle O A B = \angle O B A = 45 ^ { \circ } $，
∵ 点 $ C $ 与点 $ A $ 关于 $ y $ 轴对称，
∴ $ O C = O A $，$ A B = B C $，
∴ $ \angle A C B = \angle B A C = 45 ^ { \circ } $，$ \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，
∵ $ C D $ 平分 $ \angle A C B $，
∴ $ \angle A C D = \angle B C D = 22.5 ^ { \circ } $，
∵ $ E F // C D $，
∴ $ \angle A E G = \angle A C D = 22.5 ^ { \circ } $，
延长 $ A G $ 到 $ H $，使 $ H G = A G $，连 $ E H $ 交 $ A B $ 于 $ R $，
∵ $ A G $ 是 $ \triangle A E F $ 的高，
∴ $ A G \perp E F $，
∴ $ E H = E A $，
∴ $ \angle H E G = \angle A E G = 22.5 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle A E H = 45 ^ { \circ } = \angle B A C $，
∴ $ A R = E R $，$ \angle A R E = 90 ^ { \circ } = \angle A R H $，
∴ $ \angle H A R = 90 ^ { \circ } - \angle H = \angle F E R $，
在 $ \triangle A H R $ 和 $ \triangle E F R $ 中，
∵ $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle H A R = \angle F E R } \\ { A R = E R } \\ { \angle A R H = \angle E R F } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle A H R \cong \triangle E F R ( A S A ) $，
∴ $ A H = E F $，
∵ $ H G = A G $，
∴ $ A G = \frac { 1 } { 2 } E F $；
(3) 作 $ H S _ { 1 } \perp A M $ 于 $ S _ { 1 } $，$ H T _ { 1 } \perp M C $ 于 $ T _ { 1 } $，由面积法及 $ \frac { A H } { C H } = \frac { A M } { C M } $，
可得 $ H S _ { 1 } = H T _ { 1 } $，
∴ $ M Q $ 平分 $ \angle A M C $，
作 $ Q S \perp A M $ 于 $ S $，$ Q T \perp M C $ 于 $ T $，
∴ $ Q S = Q T $，连接 $ Q A $，$ Q C $，则 $ Q A = Q C $，
在 $ R t \triangle A S Q $ 和 $ R t \triangle C T Q $ 中，
∵ $ \left\{ \begin{array} { l } { Q A = Q C } \\ { Q S = Q T } \end{array} \right. $
∴ $ R t \triangle A S Q \cong R t \triangle C T Q ( H L ) $，
∴ $ \angle A Q S = \angle C Q T $，
∴ $ \angle A Q C = \angle S Q T $，
∵ $ C M \perp A M $，
∴ $ \angle A M C = \angle S = \angle M T Q = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle S Q T = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle Q A C = \angle Q C A = 45 ^ { \circ } $，
∵ $ \angle A O Q = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle A Q O = 45 ^ { \circ } = \angle O A Q $，
∴ $ O Q = O A $，
由
(1) 知 $ A ( - 4,0 ) $，
∴ $ O A = 4 $，
∴ $ O Q = 4 $，
$ Q ( 0, - 4 ) $.
(1)$ m = 4 $；
(2)$ AG = \frac { 1 } { 2 } EF $.
证明：
∵ $ m ^ { 2 } - 2 m n + n ^ { 2 } = 0 $，
∴ $ ( m - n ) ^ { 2 } = 0 $，
∴ $ m - n = 0 $，
∴ $ n = m $，
∵ $ A ( m, 0 ) $，$ B ( 0, n ) $，
∴ $ O A = O B $，
∵ $ \angle A O B = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle O A B = \angle O B A = 45 ^ { \circ } $，
∵ 点 $ C $ 与点 $ A $ 关于 $ y $ 轴对称，
∴ $ O C = O A $，$ A B = B C $，
∴ $ \angle A C B = \angle B A C = 45 ^ { \circ } $，$ \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，
∵ $ C D $ 平分 $ \angle A C B $，
∴ $ \angle A C D = \angle B C D = 22.5 ^ { \circ } $，
∵ $ E F // C D $，
∴ $ \angle A E G = \angle A C D = 22.5 ^ { \circ } $，
延长 $ A G $ 到 $ H $，使 $ H G = A G $，连 $ E H $ 交 $ A B $ 于 $ R $，
∵ $ A G $ 是 $ \triangle A E F $ 的高，
∴ $ A G \perp E F $，
∴ $ E H = E A $，
∴ $ \angle H E G = \angle A E G = 22.5 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle A E H = 45 ^ { \circ } = \angle B A C $，
∴ $ A R = E R $，$ \angle A R E = 90 ^ { \circ } = \angle A R H $，
∴ $ \angle H A R = 90 ^ { \circ } - \angle H = \angle F E R $，
在 $ \triangle A H R $ 和 $ \triangle E F R $ 中，
∵ $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle H A R = \angle F E R } \\ { A R = E R } \\ { \angle A R H = \angle E R F } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle A H R \cong \triangle E F R ( A S A ) $，
∴ $ A H = E F $，
∵ $ H G = A G $，
∴ $ A G = \frac { 1 } { 2 } E F $；
(3) 作 $ H S _ { 1 } \perp A M $ 于 $ S _ { 1 } $，$ H T _ { 1 } \perp M C $ 于 $ T _ { 1 } $，由面积法及 $ \frac { A H } { C H } = \frac { A M } { C M } $，
可得 $ H S _ { 1 } = H T _ { 1 } $，
∴ $ M Q $ 平分 $ \angle A M C $，
作 $ Q S \perp A M $ 于 $ S $，$ Q T \perp M C $ 于 $ T $，
∴ $ Q S = Q T $，连接 $ Q A $，$ Q C $，则 $ Q A = Q C $，
在 $ R t \triangle A S Q $ 和 $ R t \triangle C T Q $ 中，
∵ $ \left\{ \begin{array} { l } { Q A = Q C } \\ { Q S = Q T } \end{array} \right. $
∴ $ R t \triangle A S Q \cong R t \triangle C T Q ( H L ) $，
∴ $ \angle A Q S = \angle C Q T $，
∴ $ \angle A Q C = \angle S Q T $，
∵ $ C M \perp A M $，
∴ $ \angle A M C = \angle S = \angle M T Q = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle S Q T = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle Q A C = \angle Q C A = 45 ^ { \circ } $，
∵ $ \angle A O Q = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle A Q O = 45 ^ { \circ } = \angle O A Q $，
∴ $ O Q = O A $，
由
(1) 知 $ A ( - 4,0 ) $，
∴ $ O A = 4 $，
∴ $ O Q = 4 $，
$ Q ( 0, - 4 ) $.
24.(12分)(1)阅读下面解题过程:已知$\frac {x}{x^{2}+1}=\frac {2}{5}$,求$\frac {x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解:$\because \frac {x}{x^{2}+1}=\frac {2}{5}(x≠0),\therefore \frac {1}{x+\frac {1}{x}}=\frac {2}{5}$,即$x+\frac {1}{x}=\frac {5}{2}$.
$\therefore \frac {x^{2}}{x^{4}+1}=\frac {1}{x^{2}+\frac {1}{x^{2}}}=\frac {1}{(x+\frac {1}{x})^{2}-2}=\frac {1}{(\frac {5}{2})^{2}-2}=\frac {4}{17}$.
(2)请借鉴(1)中的方法解答下面的题目:
已知$\frac {x}{x^{2}-3x+1}=2$,求$\frac {x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.
解:$\because \frac {x}{x^{2}+1}=\frac {2}{5}(x≠0),\therefore \frac {1}{x+\frac {1}{x}}=\frac {2}{5}$,即$x+\frac {1}{x}=\frac {5}{2}$.
$\therefore \frac {x^{2}}{x^{4}+1}=\frac {1}{x^{2}+\frac {1}{x^{2}}}=\frac {1}{(x+\frac {1}{x})^{2}-2}=\frac {1}{(\frac {5}{2})^{2}-2}=\frac {4}{17}$.
(2)请借鉴(1)中的方法解答下面的题目:
已知$\frac {x}{x^{2}-3x+1}=2$,求$\frac {x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.
答案：
24.
∵ $ \frac { x } { x ^ { 2 } - 3 x + 1 } = 2 $，
∴ $ \frac { 1 } { x - 2 + \frac { 1 } { x } } = 2 $，
∴ $ x - 2 + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 2 } $，
∴ $ x + \frac { 1 } { x } = \frac { 7 } { 2 } $，
∴ $ \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } = \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + 1 } = \frac { 1 } { ( x + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } - 1 } = \frac { 1 } { \frac { 49 } { 4 } - 1 } = \frac { 4 } { 45 } $.
∵ $ \frac { x } { x ^ { 2 } - 3 x + 1 } = 2 $，
∴ $ \frac { 1 } { x - 2 + \frac { 1 } { x } } = 2 $，
∴ $ x - 2 + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 2 } $，
∴ $ x + \frac { 1 } { x } = \frac { 7 } { 2 } $，
∴ $ \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 } = \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + 1 } = \frac { 1 } { ( x + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } ) ^ { 2 } - 1 } = \frac { 1 } { \frac { 49 } { 4 } - 1 } = \frac { 4 } { 45 } $.
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