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21. (8分)观察下列式子,你得出了什么结论? 你能证明你的结论吗?
$1^{2} + 1^{2}×2^{2} + 2^{2} = (1 + 1 + 1)^{2}$,
$2^{2} + 2^{2}×3^{2} + 3^{2} = (4 + 2 + 1)^{2}$,
$3^{2} + 3^{2}×4^{2} + 4^{2} = (9 + 3 + 1)^{2}$,
……
$1^{2} + 1^{2}×2^{2} + 2^{2} = (1 + 1 + 1)^{2}$,
$2^{2} + 2^{2}×3^{2} + 3^{2} = (4 + 2 + 1)^{2}$,
$3^{2} + 3^{2}×4^{2} + 4^{2} = (9 + 3 + 1)^{2}$,
……
答案：
证明：$ n^2 + n^2×(n + 1)^2 + (n + 1)^2 = (n^2 + n + 1)^2 $。
$ \because n^2 + n^2(n + 1)^2 + (n + 1)^2 $
$ = n^2(n^2 + 2n + 1) + n^2 + (n + 1)^2 $
$ = n^4 + 2n^2(n + 1) + (n + 1)^2 = (n^2 + n + 1)^2 $
$ \because n^2 + n^2(n + 1)^2 + (n + 1)^2 $
$ = n^2(n^2 + 2n + 1) + n^2 + (n + 1)^2 $
$ = n^4 + 2n^2(n + 1) + (n + 1)^2 = (n^2 + n + 1)^2 $
22. (10分)观察下面等式,你能得到什么结论? 并证明你的结论.
①$3^{1} - 1^{2} = 8$
②$5^{2} - 3^{2} = 16$
③$7^{2} - 5^{2} = 24$
结论:
①$3^{1} - 1^{2} = 8$
②$5^{2} - 3^{2} = 16$
③$7^{2} - 5^{2} = 24$
结论:
两个连续奇数的平方差是8的倍数，即$(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 8n$（n为正整数）
.
答案：
证明：$ (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = [(2n + 1) + (2n - 1)][(2n + 1) - (2n - 1)] = 8n $。
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