《2025年思维新观察八年级数学上册人教版》

23. (10分)阅读材料:要把多项式$am + an + bm + bn$分解因式,可以先把它进行分组再分解因式:$am + an + bm + bn = (am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b)$,这种分解因式的方法叫做分组分解法.
(1)请用上述方法分解因式:$x^{2} - 2x + 1 - y^{2}$;
(2)已知$a + b = 4,ab = 3,x - y = 3,xy = 2$,求$a^{2}x^{2} + a^{2}y^{2} + b^{2}x^{2} + b^{2}y^{2}$的值.

答案： 解：
(1) $ x^2 - 2x + 1 - y^2 = (x - 1)^2 - y^2 = (x + y - 1)(x - y - 1) $；
(2) 原式 $ = a^2(x^2 + y^2) + b^2(x^2 + y^2) $
$ = (x^2 + y)^2(a^2 + b^2) $
$ = [(x - y)^2 + 2xy][(a + b)^2 - 2ab] $
$ = 13×10 = 130 $。

24. (12分)阅读以下材料并解决问题:
①若$a - b\geqslant 0$,则$a\geqslant b$;若$a - b\leqslant 0$,则$a\leqslant b$;
②$\because x^{2} + 6x + 10 = (x + 3)^{2} + 1,\therefore x^{2} + 6x + 10$有最小值1;
③$\because 2x^{2} - 8x - 1 = 2(x - 2)^{2} - 9,\therefore 2x^{2} - 8x - 1$有最小值-9.
(1)已知$P = 2x^{2} - 4x - 1,Q = x^{2} - 6x - 6$,比较$P$与$Q$的大小;
(2)设$x,y$为实数,求式子$4x^{2} - 2xy + y^{2} - 12x + 13$的最小值.

答案： 解：
(1) $ P - Q = (2x^2 - 4x - 1) - (x^2 - 6x - 6) $
$ = x^2 + 2x + 5 $
$ = (x + 1)^2 + 4 ＞ 0 $，
$ \therefore P ＞ Q $；
(2) $ 4x^2 - 2xy + y^2 - 12x + 13 $
$ = (x^2 - 2xy + y^2) + 3(x^2 - 4x + 4) + 1 $
$ = (x - y)^2 + 3(x - 2)^2 + 1 $，
当 $ x = y = 2 $ 时，式子的最小值为 1。