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20. (8分)已知: ∠B=∠C=∠BAD, ∠ADC=∠DAC, AE⊥BC, 求∠DAE.
答案：
解：设$\angle B = \angle C = \angle BAD = x$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC$，已知$\angle ADC = \angle DAC$。
又因为$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$（三角形外角定理），所以$\angle ADC=\angle DAC = 2x$。
则$\angle BAC=x + 2x=3x$，那么$3x+x + x=180^{\circ}$，即$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle DAC=2x = 72^{\circ}$。
因为$AE\perp BC$，在$\triangle AEC$中，$\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle C=x = 36^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle EAC=180^{\circ}-\angle AEC-\angle C$，所以$\angle EAC=180^{\circ}-90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$。
则$\angle DAE=\angle DAC-\angle EAC$，$\angle DAE=72^{\circ}-54^{\circ}=18^{\circ}$。
综上，$\angle DAE = 18^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle BAC+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，$\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC$，已知$\angle ADC = \angle DAC$。
又因为$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$（三角形外角定理），所以$\angle ADC=\angle DAC = 2x$。
则$\angle BAC=x + 2x=3x$，那么$3x+x + x=180^{\circ}$，即$5x = 180^{\circ}$，解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle DAC=2x = 72^{\circ}$。
因为$AE\perp BC$，在$\triangle AEC$中，$\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle C=x = 36^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle EAC=180^{\circ}-\angle AEC-\angle C$，所以$\angle EAC=180^{\circ}-90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$。
则$\angle DAE=\angle DAC-\angle EAC$，$\angle DAE=72^{\circ}-54^{\circ}=18^{\circ}$。
综上，$\angle DAE = 18^{\circ}$。
21. (8分)如图, 已知AD//BC, AE, BE分别平分∠DAB, ∠CBA, 过E作FG分别交AD, BC于F, G, ∠AEF=28°, 求∠BEG的大小.
答案：
解：
因为$AD// BC$，所以$\angle DAB+\angle CBA = 180^{\circ}$。
因为$AE$，$BE$分别平分$\angle DAB$，$\angle CBA$，所以$\angle EAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle EBA=\frac{1}{2}\angle CBA$。
则$\angle EAB+\angle EBA=\frac{1}{2}(\angle DAB+\angle CBA)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AEB = 180^{\circ}-(\angle EAB+\angle EBA)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
又因为$\angle AEF+\angle AEB+\angle BEG = 180^{\circ}$，$\angle AEF = 28^{\circ}$，所以$\angle BEG=180^{\circ}-\angle AEF-\angle AEB=180^{\circ}-28^{\circ}-90^{\circ}=62^{\circ}$。
综上，$\angle BEG$的大小为$62^{\circ}$。
因为$AD// BC$，所以$\angle DAB+\angle CBA = 180^{\circ}$。
因为$AE$，$BE$分别平分$\angle DAB$，$\angle CBA$，所以$\angle EAB=\frac{1}{2}\angle DAB$，$\angle EBA=\frac{1}{2}\angle CBA$。
则$\angle EAB+\angle EBA=\frac{1}{2}(\angle DAB+\angle CBA)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle AEB = 180^{\circ}-(\angle EAB+\angle EBA)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
又因为$\angle AEF+\angle AEB+\angle BEG = 180^{\circ}$，$\angle AEF = 28^{\circ}$，所以$\angle BEG=180^{\circ}-\angle AEF-\angle AEB=180^{\circ}-28^{\circ}-90^{\circ}=62^{\circ}$。
综上，$\angle BEG$的大小为$62^{\circ}$。
22. (10分)如图, 在△ABC中, BO, CO分别是∠ABC, ∠ACB的角平分线, 求:
(1)若∠A=50°, 求∠BOC的度数;
(2)在其他条件不变的情况下, ∠A与∠BOC之间有怎样的数量关系?
(1)若∠A=50°, 求∠BOC的度数;
(2)在其他条件不变的情况下, ∠A与∠BOC之间有怎样的数量关系?
答案：
22.
(1)$\because \angle A=50^{\circ }$，
$\therefore \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }-\angle A=130^{\circ }$，
$\because BO$，$CO$分别是$\triangle ABC$的角$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线，
$\therefore \angle OBC=\frac {1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac {1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC+\angle OCB=\frac {1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=65^{\circ }$，
$\therefore \angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$；
(2)$\because \angle ABC$与$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，
$\therefore \angle OBC=\frac {1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac {1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC+\angle OCB=\frac {1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$，
在$\triangle OBC$中，
$\angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle A)$
$=90^{\circ }+\frac {1}{2}\angle A$，
即$\angle BOC=90^{\circ }+\frac {1}{2}\angle A$.
(1)$\because \angle A=50^{\circ }$，
$\therefore \angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }-\angle A=130^{\circ }$，
$\because BO$，$CO$分别是$\triangle ABC$的角$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线，
$\therefore \angle OBC=\frac {1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac {1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC+\angle OCB=\frac {1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)=65^{\circ }$，
$\therefore \angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$；
(2)$\because \angle ABC$与$\angle ACB$的平分线相交于点$O$，
$\therefore \angle OBC=\frac {1}{2}\angle ABC$，$\angle OCB=\frac {1}{2}\angle ACB$，
$\therefore \angle OBC+\angle OCB=\frac {1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$，
在$\triangle OBC$中，
$\angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$
$=180^{\circ }-\frac {1}{2}(180^{\circ }-\angle A)$
$=90^{\circ }+\frac {1}{2}\angle A$，
即$\angle BOC=90^{\circ }+\frac {1}{2}\angle A$.
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