《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

24. (12分)(1)如图①,在$\triangle ABC$中,AD、AE分别是$\triangle ABC$的高和角平分线,若$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle C = 50^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)如图②,已知AF平分$\angle BAC$,交边BC于点E,延长AE至点F,过点F作$FD\perp BC$于点D.若$\angle B = x^{\circ}$,$\angle C = (x + 30)^{\circ}$.
① $\angle CAE = $______(含x的代数式表示)；
② 求$\angle F$的度数.
(1)解：$∵∠B=30^{\circ}$，$∠C=50^{\circ}$
$∴∠BAC=180^{\circ}-∠B-∠C=180^{\circ}-30^{\circ}-50^{\circ}=100^{\circ}$
$∵AE$是角平分线
$∴∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×100^{\circ}=50^{\circ}$
$∵AD$是高
$∴∠CAD=90^{\circ}-∠C=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$
$∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$
(2)①$(75-x)^{\circ}$
②解：$∵AF$平分$∠BAC$
$∴∠BAE=∠CAE=(75-x)^{\circ}$
$∵∠AEC$是$△ABE$的外角
$∴∠AEC=∠BAE+∠B=(75-x)^{\circ}+x^{\circ}=75^{\circ}$
$∴∠FED=∠AEC=75^{\circ}$
$∵FD⊥BC$
$∴∠F=90^{\circ}-∠FED=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$

答案：
(1)解：$∵∠B=30^{\circ}$，$∠C=50^{\circ}$
$∴∠BAC=180^{\circ}-∠B-∠C=180^{\circ}-30^{\circ}-50^{\circ}=100^{\circ}$
$∵AE$是角平分线
$∴∠CAE=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×100^{\circ}=50^{\circ}$
$∵AD$是高
$∴∠CAD=90^{\circ}-∠C=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$
$∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50^{\circ}-40^{\circ}=10^{\circ}$
(2)①$(75-x)^{\circ}$
②解：$∵AF$平分$∠BAC$
$∴∠BAE=∠CAE=(75-x)^{\circ}$
$∵∠AEC$是$△ABE$的外角
$∴∠AEC=∠BAE+∠B=(75-x)^{\circ}+x^{\circ}=75^{\circ}$
$∴∠FED=∠AEC=75^{\circ}$
$∵FD⊥BC$
$∴∠F=90^{\circ}-∠FED=90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}$

25. (12分)(2024秋·银川校级期末)
【问题背景】$\angle MON = 90^{\circ}$,点A、B分别在OM、ON上运动(不与点O重合).
【问题思考】
(1)如图①,AE、BE分别是$\angle BAO和\angle ABO$的平分线,随着点A、点B的运动,$\angle AEB = $135$^{\circ}$；
(2)如图②,若BC是$\angle ABN$的平分线,BC的反向延长线与$\angle OAB$的平分线交于点D.
① 若$\angle BAO = 70^{\circ}$,则$\angle D = $45$^{\circ}$；
② 随着点A、B的运动,$\angle D$的大小会变吗？如果不会,求$\angle D$的度数；如果会,请说明理由；
解：∠D的度数不会变。
设∠BAD = x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO = 2x。
∵∠AOB = 90°，
∴∠ABN = ∠AOB + ∠BAO = 90° + 2x。
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC = 1/2∠ABN = 45° + x。
∵∠ABC = ∠D + ∠BAD，
∴∠D = ∠ABC - ∠BAD = 45° + x - x = 45°。
【问题拓展】
(3)在图②的基础上,如果$\angle MON = \alpha$,其余条件不变,随着点A、B的运动(如图③),$\angle D = $$\frac{1}{2}\alpha$.(用含$\alpha$的代数式表示)

答案：
(1) 135
(2) ① 45
② 解：∠D的度数不会变。
设∠BAD = x，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO = 2x。
∵∠AOB = 90°，
∴∠ABN = ∠AOB + ∠BAO = 90° + 2x。
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC = 1/2∠ABN = 45° + x。
∵∠ABC = ∠D + ∠BAD，
∴∠D = ∠ABC - ∠BAD = 45° + x - x = 45°。
(3) 1/2α