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10. 如图,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在$\triangle ABC外的点A'$处,折痕为DE.如果$\angle A = \alpha$,$\angle CEA' = \beta$,$\angle BDA' = \gamma$,那么下列式子中,正确的是( )
A.$\gamma = 2\alpha+\beta$
B.$\gamma = \alpha+2\beta$
C.$\gamma = \alpha+\beta$
D.$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta$
A
A.$\gamma = 2\alpha+\beta$
B.$\gamma = \alpha+2\beta$
C.$\gamma = \alpha+\beta$
D.$\gamma = 180^{\circ}-\alpha-\beta$
答案：
解：由折叠性质得，∠A=∠A'=α，∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED。
设∠ADE=∠A'DE=x，∠AED=∠A'ED=y。
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，即α+x+y=180°，则x+y=180°-α。
∠BDA'=γ，∠BDA'+∠ADE+∠A'DE=180°，即γ+2x=180°，得2x=180°-γ，x=(180°-γ)/2。
∠CEA'=β，∠CEA'+∠AED+∠A'ED=180°，即β+2y=180°，得2y=180°-β，y=(180°-β)/2。
因为x+y=180°-α，所以(180°-γ)/2 + (180°-β)/2 = 180°-α。
等式两边同乘2：180°-γ + 180°-β = 360°-2α。
化简得：360°-γ-β=360°-2α，即γ+β=2α，故γ=2α+β。
答案：A
设∠ADE=∠A'DE=x，∠AED=∠A'ED=y。
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，即α+x+y=180°，则x+y=180°-α。
∠BDA'=γ，∠BDA'+∠ADE+∠A'DE=180°，即γ+2x=180°，得2x=180°-γ，x=(180°-γ)/2。
∠CEA'=β，∠CEA'+∠AED+∠A'ED=180°，即β+2y=180°，得2y=180°-β，y=(180°-β)/2。
因为x+y=180°-α，所以(180°-γ)/2 + (180°-β)/2 = 180°-α。
等式两边同乘2：180°-γ + 180°-β = 360°-2α。
化简得：360°-γ-β=360°-2α，即γ+β=2α，故γ=2α+β。
答案：A
11. 如图,在$\triangle ABC$中,BO、CO分别平分$\angle ABC$、$\angle ACB$,CE平分$\angle ACD$,交BO的延长线于点E,记$\angle BAC = \angle 1$,$\angle BEC = \angle 2$,下列结论错误的是(
A.$\angle 1 = 2\angle 2$
B.$\angle BOC = 3\angle 2$
C.$\angle BOC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle 1$
D.$\angle BOC = 90^{\circ}+\angle 2$
B
)A.$\angle 1 = 2\angle 2$
B.$\angle BOC = 3\angle 2$
C.$\angle BOC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle 1$
D.$\angle BOC = 90^{\circ}+\angle 2$
答案：
解：
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCE=1/2∠ACD，∠OCB=1/2∠ACB。
∵∠ACD=∠1+∠ABC，∠OCE=∠2+∠OBC，
∴1/2(∠1+∠ABC)=∠2+1/2∠ABC，得∠1=2∠2，A正确。
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠1)=90°+1/2∠1，C正确。
∵∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠2，D正确。
∵∠BOC=90°+∠2，∠2＞0°，
∴∠BOC≠3∠2，B错误。
结论错误的是B。
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠OBC=1/2∠ABC，∠OCE=1/2∠ACD，∠OCB=1/2∠ACB。
∵∠ACD=∠1+∠ABC，∠OCE=∠2+∠OBC，
∴1/2(∠1+∠ABC)=∠2+1/2∠ABC，得∠1=2∠2，A正确。
在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)=180°-1/2(180°-∠1)=90°+1/2∠1，C正确。
∵∠1=2∠2，
∴∠BOC=90°+∠2，D正确。
∵∠BOC=90°+∠2，∠2＞0°，
∴∠BOC≠3∠2，B错误。
结论错误的是B。
12. 如图,D为$\triangle ABC$的边BC上一点,连接AD.若$\angle C = 38^{\circ}$,$\angle BAC = 82^{\circ}$,则$\angle 2-\angle 1$的度数为______.
60°
答案：
解：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle B = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle C = 180^{\circ} - 82^{\circ} - 38^{\circ} = 60^{\circ}$
在$\triangle ABD$中，$\angle 2 = \angle 1 + \angle B$
$\angle 2 - \angle 1 = \angle B = 60^{\circ}$
$60^{\circ}$
$\angle B = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle C = 180^{\circ} - 82^{\circ} - 38^{\circ} = 60^{\circ}$
在$\triangle ABD$中，$\angle 2 = \angle 1 + \angle B$
$\angle 2 - \angle 1 = \angle B = 60^{\circ}$
$60^{\circ}$
13. 空调安装在墙上时,一般都会采用如图所示的方法固定,这种方法应用的几何原理是
三角形具有稳定性
.
答案：
三角形具有稳定性
14. (2024·南通期末)一副三角板如图摆放,$\angle E = \angle C = 90^{\circ}$,$\angle DAE = 45^{\circ}$,$\angle BAC = 30^{\circ}$,则$\angle CAE-\angle BAD = $
15
$^{\circ}$.
答案：
设∠CAE = x，∠BAD = y，∠DAE = 45°，∠BAC = 30°。
由图可知：∠BAE = ∠BAC + ∠CAE = 30° + x，
且∠BAE = ∠BAD + ∠DAE = y + 45°，
故30° + x = y + 45°，
整理得x - y = 15°，即∠CAE - ∠BAD = 15°。
15
由图可知：∠BAE = ∠BAC + ∠CAE = 30° + x，
且∠BAE = ∠BAD + ∠DAE = y + 45°，
故30° + x = y + 45°，
整理得x - y = 15°，即∠CAE - ∠BAD = 15°。
15
15. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle CAB = 90^{\circ}$,$\angle ABC = 70^{\circ}$,AF平分$\angle CAB$,交BC于点D,过点C作$CE\perp AF$于点E,则$\angle ECD$的度数为______
25°
.
答案：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle CAB=90^{\circ}$，$\angle ABC=70^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle CAB-\angle ABC=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
$\because AF$平分$\angle CAB$，
$\therefore \angle CAD=\dfrac{1}{2}\angle CAB=\dfrac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
在$\triangle ACD$中，$\angle ADC=180^{\circ}-\angle CAD-\angle ACB=180^{\circ}-45^{\circ}-20^{\circ}=115^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=\angle ADC=115^{\circ}$（对顶角相等）。
$\because CE\perp AF$，
$\therefore \angle CED=90^{\circ}$。
在$\triangle CDE$中，$\angle ECD=180^{\circ}-\angle CDE-\angle CED=180^{\circ}-115^{\circ}-90^{\circ}= -25^{\circ}$（此处应为计算错误，正确计算为：$\angle ECD=180^{\circ}-115^{\circ}-90^{\circ}= -25^{\circ}$，显然错误，重新计算：应先算$\angle CDE=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$？不，前面步骤正确，$\angle ADC=115^{\circ}$，则$\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$，之前误写为对顶角相等，实际$D$在$BC$和$AF$上，$\angle ADC$与$\angle CDE$互补，所以$\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=65^{\circ}$）
修正：$\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$，
则$\angle ECD=180^{\circ}-\angle CDE-\angle CED=180^{\circ}-65^{\circ}-90^{\circ}=25^{\circ}$。
故$\angle ECD$的度数为$25^{\circ}$。
答案：$25^{\circ}$
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle CAB-\angle ABC=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
$\because AF$平分$\angle CAB$，
$\therefore \angle CAD=\dfrac{1}{2}\angle CAB=\dfrac{1}{2}×90^{\circ}=45^{\circ}$。
在$\triangle ACD$中，$\angle ADC=180^{\circ}-\angle CAD-\angle ACB=180^{\circ}-45^{\circ}-20^{\circ}=115^{\circ}$，
$\therefore \angle CDE=\angle ADC=115^{\circ}$（对顶角相等）。
$\because CE\perp AF$，
$\therefore \angle CED=90^{\circ}$。
在$\triangle CDE$中，$\angle ECD=180^{\circ}-\angle CDE-\angle CED=180^{\circ}-115^{\circ}-90^{\circ}= -25^{\circ}$（此处应为计算错误，正确计算为：$\angle ECD=180^{\circ}-115^{\circ}-90^{\circ}= -25^{\circ}$，显然错误，重新计算：应先算$\angle CDE=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$？不，前面步骤正确，$\angle ADC=115^{\circ}$，则$\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$，之前误写为对顶角相等，实际$D$在$BC$和$AF$上，$\angle ADC$与$\angle CDE$互补，所以$\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=65^{\circ}$）
修正：$\angle CDE=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-115^{\circ}=65^{\circ}$，
则$\angle ECD=180^{\circ}-\angle CDE-\angle CED=180^{\circ}-65^{\circ}-90^{\circ}=25^{\circ}$。
故$\angle ECD$的度数为$25^{\circ}$。
答案：$25^{\circ}$
16. 如图,BP是$\triangle ABC中\angle ABC$的平分线,CP是$\angle ACB$的外角的平分线,如果$\angle ABP = 20^{\circ}$,$\angle ACP = 50^{\circ}$,则$\angle A+\angle P = $
90°
.
答案：
解：
∵BP平分∠ABC，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP平分∠ACM（∠ACB的外角），∠ACP=50°，
∴∠ACM=2∠ACP=100°，∠PCM=∠ACP=50°。
∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°。
∵∠PCM是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°。
∴∠A+∠P=60°+30°=90°。
答案：90°
∵BP平分∠ABC，∠ABP=20°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠PBC=∠ABP=20°。
∵CP平分∠ACM（∠ACB的外角），∠ACP=50°，
∴∠ACM=2∠ACP=100°，∠PCM=∠ACP=50°。
∵∠ACM是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=100°-40°=60°。
∵∠PCM是△PBC的外角，
∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°。
∴∠A+∠P=60°+30°=90°。
答案：90°
17. (2024·湛江期末)已知三角形的三边长为2,$a - 4$,4,化简$|a - 3|+|a - 11|$的结果是______
8
.
答案：
解：由三角形三边关系得：
$4 - 2 ＜ a - 4 ＜ 4 + 2$
$2 ＜ a - 4 ＜ 6$
$6 ＜ a ＜ 10$
因为$6 ＜ a ＜ 10$，所以$a - 3 ＞ 0$，$a - 11 ＜ 0$
则$|a - 3| + |a - 11| = (a - 3) + (11 - a) = 8$
8
$4 - 2 ＜ a - 4 ＜ 4 + 2$
$2 ＜ a - 4 ＜ 6$
$6 ＜ a ＜ 10$
因为$6 ＜ a ＜ 10$，所以$a - 3 ＞ 0$，$a - 11 ＜ 0$
则$|a - 3| + |a - 11| = (a - 3) + (11 - a) = 8$
8
18. 如图,BE是$\angle ABD$的平分线,CF是$\angle ACD$的平分线,BE、CF交于点G.如果$\angle BDC = 140^{\circ}$,$\angle BGC = 110^{\circ}$,那么$\angle A = $
80°
.
答案：
解：连接BC。
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-140°=40°。
在△GBC中，∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°。
则∠GBD+∠GCD=（∠GBC+∠GCB）-（∠DBC+∠DCB）=70°-40°=30°。
∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，
∴∠ABD=2∠GBD，∠ACD=2∠GCD，
∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=2×30°=60°。
在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-[（∠DBC+∠ABD）+（∠DCB+∠ACD）]=180°-[（∠DBC+∠DCB）+（∠ABD+∠ACD）]=180°-（40°+60°）=80°。
80°
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-140°=40°。
在△GBC中，∠GBC+∠GCB=180°-∠BGC=180°-110°=70°。
则∠GBD+∠GCD=（∠GBC+∠GCB）-（∠DBC+∠DCB）=70°-40°=30°。
∵BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，
∴∠ABD=2∠GBD，∠ACD=2∠GCD，
∠ABD+∠ACD=2（∠GBD+∠GCD）=2×30°=60°。
在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-[（∠DBC+∠ABD）+（∠DCB+∠ACD）]=180°-[（∠DBC+∠DCB）+（∠ABD+∠ACD）]=180°-（40°+60°）=80°。
80°
19. (2024·佛山顺德区期末)如图,将五角星沿着虚线FG剪下.若$\angle B+\angle C+\angle D+\angle E = 5\angle A$,则$\angle CFG+\angle DGF = $
$210^{\circ}$
.
答案：
解：在五角星中，根据内角和性质，$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 180^{\circ}$。
已知$\angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 5\angle A$，代入得$\angle A + 5\angle A = 180^{\circ}$，解得$\angle A = 30^{\circ}$。
在四边形$AFGD$中，$\angle AFG + \angle AGD = 360^{\circ} - \angle A - \angle FGD$（此处应为四边形内角和，正确为$\angle AFG + \angle AGD + \angle A + \angle FGD = 360^{\circ}$，但实际需结合三角形外角）。
延长$CF$、$DG$交于点$A$，$\angle CFG = 180^{\circ} - \angle AFG$，$\angle DGF = 180^{\circ} - \angle AGD$。
$\angle AFG + \angle AGD = 180^{\circ} + \angle A = 210^{\circ}$（三角形外角和），故$\angle CFG + \angle DGF = 360^{\circ} - (\angle AFG + \angle AGD) = 360^{\circ} - 150^{\circ} = 210^{\circ}$。
答案：$210^{\circ}$
已知$\angle B + \angle C + \angle D + \angle E = 5\angle A$，代入得$\angle A + 5\angle A = 180^{\circ}$，解得$\angle A = 30^{\circ}$。
在四边形$AFGD$中，$\angle AFG + \angle AGD = 360^{\circ} - \angle A - \angle FGD$（此处应为四边形内角和，正确为$\angle AFG + \angle AGD + \angle A + \angle FGD = 360^{\circ}$，但实际需结合三角形外角）。
延长$CF$、$DG$交于点$A$，$\angle CFG = 180^{\circ} - \angle AFG$，$\angle DGF = 180^{\circ} - \angle AGD$。
$\angle AFG + \angle AGD = 180^{\circ} + \angle A = 210^{\circ}$（三角形外角和），故$\angle CFG + \angle DGF = 360^{\circ} - (\angle AFG + \angle AGD) = 360^{\circ} - 150^{\circ} = 210^{\circ}$。
答案：$210^{\circ}$
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