《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

21. (8 分)(2025·长沙一模)如图,在△ABC 中,O 是 AB 边的中点,D 是 CO 上一点,AE // BD 交 CO 的延长线于点 E.
(1)求证：AE = BD；
(2)若∠ACB = 90°,∠BDO = ∠CAO,AC = 6,求 BD 的长.

答案： （1）证明：
∵O是AB边的中点，
∴AO=BO。
∵AE//BD，
∴∠E=∠BDO，∠OAE=∠OBD。
在△OAE与△OBD中，
$\begin{cases}\angle E=\angle BDO, \\\angle OAE=\angle OBD, \\OA=OB,\end{cases}$
∴△OAE≌△OBD（AAS）。
∴AE=BD；
（2）解：
∵∠ACB=90°，O是AB边的中点，
∴AO=BO=OC=$\frac{1}{2}$AB。
∴∠ACO=∠CAO。
由（1）知△OAE≌△OBD，
∴AE=BD，∠E=∠BDO。
∵∠BDO=∠CAO，
∴∠ACO=∠E。
∴AC=AE=6。
∴BD=AE=6。

22. (8 分)如图,△ABC 的顶点坐标分别为 A(2,3),B(1,1),C(3,2).
(1)将△ABC 向下平移 4 个单位长度,画出平移后的$△A_1B_1C_1；$
(2)画出△ABC 关于 y 轴对称的$△A_2B_2C_2,$并写出点$ A_2、$$B_2、$$C_2 $的坐标.

答案：
（1）如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$为所求作；（2）如图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$为所求作，$A_{2}(-2,3)$，$B_{2}(-1,1)$，$C_{2}(-3,2)$。

23. (10 分)如图,在△ABC 中,AB = AC,AB 的垂直平分线交 AB 于 N,交 AC 于 M.
(1)若∠B = 70°,则∠NMA 的度数是______；
(2)连接 MB,若 AB = 8 cm,△MBC 的周长是 14 cm.
① 求 BC 的长；
② 在直线 MN 上是否存在点 P,使由 P、B、C 构成的△PBC 的周长最小？若存在,标出点 P 的位置并求△PBC 的周长最小值；若不存在,说明理由.

答案：
（1）$50^{\circ}$（2）①$\because MN$垂直平分$AB$。$\therefore MB = MA$，又$\because\triangle MBC$的周长是$14cm$，$\therefore AC + BC = 14cm$，$\therefore BC = 6cm$。②当点$P$与点$M$重合时，$PB + CP$的值最小，$\triangle BPC$周长的最小值是$8 + 6 = 14(cm)$。