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7. 若$x^{2}-3x + 1= 0$,则$x+\frac{1}{x}$的值为(
A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\frac{1}{3}$
A
)A.3
B.$\frac{1}{3}$
C.$-3$
D.$-\frac{1}{3}$
答案：
解：因为$x^{2}-3x + 1= 0$，且$x\neq0$（若$x=0$，代入方程左边得$0 - 0 + 1=1\neq0$），方程两边同时除以$x$，得$x - 3 + \frac{1}{x}=0$，移项可得$x+\frac{1}{x}=3$。
答案：A
答案：A
8. 已知$(x - 2021)^{2}+(x - 2025)^{2}= 34$,则$(x - 2023)^{2}$的值是(
A.5
B.9
C.13
D.17
C
)A.5
B.9
C.13
D.17
答案：
解：设$t = x - 2023$，则$x - 2021 = t + 2$，$x - 2025 = t - 2$。
原方程可化为$(t + 2)^2 + (t - 2)^2 = 34$。
展开得$t^2 + 4t + 4 + t^2 - 4t + 4 = 34$。
合并同类项得$2t^2 + 8 = 34$。
移项得$2t^2 = 26$，即$t^2 = 13$。
所以$(x - 2023)^2 = t^2 = 13$。
答案：C
原方程可化为$(t + 2)^2 + (t - 2)^2 = 34$。
展开得$t^2 + 4t + 4 + t^2 - 4t + 4 = 34$。
合并同类项得$2t^2 + 8 = 34$。
移项得$2t^2 = 26$，即$t^2 = 13$。
所以$(x - 2023)^2 = t^2 = 13$。
答案：C
9. 计算：$(\pi - 1)^{0}+\vert - 2\vert=$
3
.
答案：
解：$(\pi - 1)^0 + | - 2|$
$=1 + 2$
$=3$
答案：3
$=1 + 2$
$=3$
答案：3
10. (2024秋·南通海门区校级月考)计算$a^{2}\cdot(-6ab)$的结果是
$-6a^{3}b$
.
答案：
解：$a^{2} \cdot (-6ab)$
$= -6 \cdot a^{2} \cdot a \cdot b$
$= -6a^{3}b$
故答案为：$-6a^{3}b$
$= -6 \cdot a^{2} \cdot a \cdot b$
$= -6a^{3}b$
故答案为：$-6a^{3}b$
11. 如果$x^{n}y^{4}与2xy^{m}相乘的结果是2x^{5}y^{7}$,那么$mn= $
12
.
答案：
解：$x^{n}y^{4} \cdot 2xy^{m} = 2x^{n+1}y^{4+m}$
因为结果是$2x^{5}y^{7}$，所以$n+1=5$，$4+m=7$
解得$n=4$，$m=3$
则$mn=4×3=12$
12
因为结果是$2x^{5}y^{7}$，所以$n+1=5$，$4+m=7$
解得$n=4$，$m=3$
则$mn=4×3=12$
12
12. 计算：$(\frac{5}{6})^{2024}\cdot(\frac{6}{5})^{2025}=$
$\frac{6}{5}$
.
答案：
$(\frac{5}{6})^{2024}\cdot(\frac{6}{5})^{2025}$
$=(\frac{5}{6})^{2024}\cdot(\frac{6}{5})^{2024}\cdot\frac{6}{5}$
$=(\frac{5}{6}×\frac{6}{5})^{2024}\cdot\frac{6}{5}$
$=1^{2024}\cdot\frac{6}{5}$
$=1×\frac{6}{5}$
$=\frac{6}{5}$
$\frac{6}{5}$
$=(\frac{5}{6})^{2024}\cdot(\frac{6}{5})^{2024}\cdot\frac{6}{5}$
$=(\frac{5}{6}×\frac{6}{5})^{2024}\cdot\frac{6}{5}$
$=1^{2024}\cdot\frac{6}{5}$
$=1×\frac{6}{5}$
$=\frac{6}{5}$
$\frac{6}{5}$
13. (2024秋·海安期中)已知：$2^{m}= a$,$2^{n}= b$,$m$、$n$为正整数,则$2^{2m + 3n}= $
$a^{2}b^{3}$
.
答案：
解：因为$2^{m}=a$，所以$(2^{m})^{2}=a^{2}$，即$2^{2m}=a^{2}$。
因为$2^{n}=b$，所以$(2^{n})^{3}=b^{3}$，即$2^{3n}=b^{3}$。
则$2^{2m + 3n}=2^{2m} × 2^{3n}=a^{2}b^{3}$。
$a^{2}b^{3}$
因为$2^{n}=b$，所以$(2^{n})^{3}=b^{3}$，即$2^{3n}=b^{3}$。
则$2^{2m + 3n}=2^{2m} × 2^{3n}=a^{2}b^{3}$。
$a^{2}b^{3}$
14. (2024·海安一模)若$a + b = 4$,$a - b = 1$,则$(a + 2)^{2}-(b - 2)^{2}$的值为______
20
.
答案：
解：$(a + 2)^{2}-(b - 2)^{2}$
$=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]$
$=(a + b)(a - b + 4)$
因为$a + b = 4$，$a - b = 1$，
所以原式$=4×(1 + 4)=4×5=20$
20
$=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]$
$=(a + b)(a - b + 4)$
因为$a + b = 4$，$a - b = 1$，
所以原式$=4×(1 + 4)=4×5=20$
20
15. 已知$(x + y)^{3}= x^{3}+3x^{2}y + 3xy^{2}+y^{3}$,则$(m - n)^{3}= $
$m^{3}-3m^{2}n + 3mn^{2}-n^{3}$
.
答案：
解：令$x = m$，$y=-n$，代入$(x + y)^{3}= x^{3}+3x^{2}y + 3xy^{2}+y^{3}$，得
$\begin{aligned}(m + (-n))^{3}&=m^{3}+3m^{2}(-n)+3m(-n)^{2}+(-n)^{3}\\(m - n)^{3}&=m^{3}-3m^{2}n + 3mn^{2}-n^{3}\end{aligned}$
故答案为：$m^{3}-3m^{2}n + 3mn^{2}-n^{3}$
$\begin{aligned}(m + (-n))^{3}&=m^{3}+3m^{2}(-n)+3m(-n)^{2}+(-n)^{3}\\(m - n)^{3}&=m^{3}-3m^{2}n + 3mn^{2}-n^{3}\end{aligned}$
故答案为：$m^{3}-3m^{2}n + 3mn^{2}-n^{3}$
16. (2024秋·海口期末)已知$a = 2^{55}$,$b = 5^{22}$,则$a$、$b$的大小关系是
$b ＜ a$
(请用字母表示,并用“$＜$”连接).
答案：
解：$a = 2^{55} = (2^5)^{11} = 32^{11}$，$b = 5^{22} = (5^2)^{11} = 25^{11}$，因为$25 ＜ 32$，所以$25^{11} ＜ 32^{11}$，即$b ＜ a$。
$b ＜ a$
$b ＜ a$
17. 若实数$x满足x^{2}-x - 1= 0$,则$x^{3}-2x^{2}+2025= $
2024
.
答案：
解：由$x^{2}-x - 1= 0$得$x^{2}=x + 1$。
$x^{3}-2x^{2}+2025$
$=x\cdot x^{2}-2x^{2}+2025$
$=x(x + 1)-2x^{2}+2025$
$=x^{2}+x - 2x^{2}+2025$
$=-x^{2}+x + 2025$
$=-(x^{2}-x)+2025$
因为$x^{2}-x = 1$，所以原式$=-1 + 2025 = 2024$。
2024
$x^{3}-2x^{2}+2025$
$=x\cdot x^{2}-2x^{2}+2025$
$=x(x + 1)-2x^{2}+2025$
$=x^{2}+x - 2x^{2}+2025$
$=-x^{2}+x + 2025$
$=-(x^{2}-x)+2025$
因为$x^{2}-x = 1$，所以原式$=-1 + 2025 = 2024$。
2024
18. (2024秋·海安校级月考)若实数$a$、$b$、$c$满足：$a^{2}-2a - b = 0$,$2a^{2}+b^{2}-4a + 2b = 2 - c$,则$c$的最大值为______
5
.
答案：
解：由$a^{2}-2a - b = 0$，得$b = a^{2}-2a$。
将$b = a^{2}-2a$代入$2a^{2}+b^{2}-4a + 2b = 2 - c$，
得$2a^{2}+(a^{2}-2a)^{2}-4a + 2(a^{2}-2a)=2 - c$。
展开并化简：
$\begin{aligned}2a^{2}+(a^{4}-4a^{3}+4a^{2})-4a + 2a^{2}-4a&=2 - c\\a^{4}-4a^{3}+(2a^{2}+4a^{2}+2a^{2})+(-4a -4a)&=2 - c\\a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-8a&=2 - c\\c&=2 - (a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-8a)\\c&=-a^{4}+4a^{3}-8a^{2}+8a + 2\end{aligned}$
令$y = -a^{4}+4a^{3}-8a^{2}+8a + 2$，对其求导或配方求最值（此处用配方）：
$\begin{aligned}y&=-(a^{4}-4a^{3}+4a^{2}) -4a^{2}+8a + 2\\&=-(a^{2}-2a)^{2}-4(a^{2}-2a) + 2\end{aligned}$
设$t = a^{2}-2a=(a - 1)^{2}-1\geq -1$，则$y = -t^{2}-4t + 2$。
$y = -t^{2}-4t + 2 = -(t + 2)^{2}+6$，函数开口向下，对称轴$t=-2$。
因为$t\geq -1$，在$t\geq -2$时，$y$随$t$增大而减小，所以当$t=-1$时，$y$最大。
$t=-1$时，$y = -(-1 + 2)^{2}+6 = -1 + 6 = 5$。
即$c$的最大值为$5$。
5
将$b = a^{2}-2a$代入$2a^{2}+b^{2}-4a + 2b = 2 - c$，
得$2a^{2}+(a^{2}-2a)^{2}-4a + 2(a^{2}-2a)=2 - c$。
展开并化简：
$\begin{aligned}2a^{2}+(a^{4}-4a^{3}+4a^{2})-4a + 2a^{2}-4a&=2 - c\\a^{4}-4a^{3}+(2a^{2}+4a^{2}+2a^{2})+(-4a -4a)&=2 - c\\a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-8a&=2 - c\\c&=2 - (a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-8a)\\c&=-a^{4}+4a^{3}-8a^{2}+8a + 2\end{aligned}$
令$y = -a^{4}+4a^{3}-8a^{2}+8a + 2$，对其求导或配方求最值（此处用配方）：
$\begin{aligned}y&=-(a^{4}-4a^{3}+4a^{2}) -4a^{2}+8a + 2\\&=-(a^{2}-2a)^{2}-4(a^{2}-2a) + 2\end{aligned}$
设$t = a^{2}-2a=(a - 1)^{2}-1\geq -1$，则$y = -t^{2}-4t + 2$。
$y = -t^{2}-4t + 2 = -(t + 2)^{2}+6$，函数开口向下，对称轴$t=-2$。
因为$t\geq -1$，在$t\geq -2$时，$y$随$t$增大而减小，所以当$t=-1$时，$y$最大。
$t=-1$时，$y = -(-1 + 2)^{2}+6 = -1 + 6 = 5$。
即$c$的最大值为$5$。
5
19. (8分)计算：
(1)$[a^{3}\cdot a^{5}+(3a^{4})^{2}]÷ a^{2}$； (2)$(-3x^{2}y)^{2}\cdot(6xy^{3})÷(9x^{3}y^{4})$.
(1)$[a^{3}\cdot a^{5}+(3a^{4})^{2}]÷ a^{2}$； (2)$(-3x^{2}y)^{2}\cdot(6xy^{3})÷(9x^{3}y^{4})$.
答案：
(1)
原式$=(a^{8}+9a^{8})÷a^{2}$
$=10a^{8}÷a^{2}$
$=10a^{6}$
(2)
原式$=9x^{4}y^{2}·6xy^{3}÷9x^{3}y^{4}$
$=54x^{5}y^{5}÷9x^{3}y^{4}$
$=6x^{2}y$
(1)
原式$=(a^{8}+9a^{8})÷a^{2}$
$=10a^{8}÷a^{2}$
$=10a^{6}$
(2)
原式$=9x^{4}y^{2}·6xy^{3}÷9x^{3}y^{4}$
$=54x^{5}y^{5}÷9x^{3}y^{4}$
$=6x^{2}y$
20. (16分)计算：
(1)$2023×2025 - 2024^{2}$； (2)$4(x + 1)^{2}-(2x + 5)(2x - 5)$；
(3)$(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$； (4)$[x(x^{2}y^{2}-xy)-y(x^{2}-x^{3}y)]÷3x^{2}y$.
(1)$2023×2025 - 2024^{2}$； (2)$4(x + 1)^{2}-(2x + 5)(2x - 5)$；
(3)$(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$； (4)$[x(x^{2}y^{2}-xy)-y(x^{2}-x^{3}y)]÷3x^{2}y$.
答案：
(1)解：$2023×2025 - 2024^{2}$
$=(2024 - 1)(2024 + 1)-2024^{2}$
$=2024^{2}-1 - 2024^{2}$
$=-1$
(2)解：$4(x + 1)^{2}-(2x + 5)(2x - 5)$
$=4(x^{2}+2x + 1)-(4x^{2}-25)$
$=4x^{2}+8x + 4 - 4x^{2}+25$
$=8x + 29$
(3)解：$(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{4}-1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{8}-1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16}-1)$
(4)解：$[x(x^{2}y^{2}-xy)-y(x^{2}-x^{3}y)]÷3x^{2}y$
$=[x^{3}y^{2}-x^{2}y - x^{2}y + x^{3}y^{2}]÷3x^{2}y$
$=(2x^{3}y^{2}-2x^{2}y)÷3x^{2}y$
$=2x^{3}y^{2}÷3x^{2}y - 2x^{2}y÷3x^{2}y$
$=\frac{2}{3}xy - \frac{2}{3}$
(1)解：$2023×2025 - 2024^{2}$
$=(2024 - 1)(2024 + 1)-2024^{2}$
$=2024^{2}-1 - 2024^{2}$
$=-1$
(2)解：$4(x + 1)^{2}-(2x + 5)(2x - 5)$
$=4(x^{2}+2x + 1)-(4x^{2}-25)$
$=4x^{2}+8x + 4 - 4x^{2}+25$
$=8x + 29$
(3)解：$(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{2}-1)(3^{2}+1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{4}-1)(3^{4}+1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{8}-1)(3^{8}+1)$
$=\frac{1}{2}(3^{16}-1)$
(4)解：$[x(x^{2}y^{2}-xy)-y(x^{2}-x^{3}y)]÷3x^{2}y$
$=[x^{3}y^{2}-x^{2}y - x^{2}y + x^{3}y^{2}]÷3x^{2}y$
$=(2x^{3}y^{2}-2x^{2}y)÷3x^{2}y$
$=2x^{3}y^{2}÷3x^{2}y - 2x^{2}y÷3x^{2}y$
$=\frac{2}{3}xy - \frac{2}{3}$
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