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9. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2 倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”. 若等腰△ABC 是“倍长三角形”,底边 BC 的长为 3,则腰 AB 的长为______
6
.
答案：
解：因为等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC=3，所以分两种情况讨论：
情况一：若腰AB是底边BC的2倍，则AB=2×3=6。此时三边长为6，6，3，满足三角形三边关系（6+3＞6，6+6＞3）。
情况二：若底边BC是腰AB的2倍，则AB=3÷2=1.5。此时三边长为1.5，1.5，3，因为1.5+1.5=3，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），所以舍去。
综上，腰AB的长为6。
答案：6
情况一：若腰AB是底边BC的2倍，则AB=2×3=6。此时三边长为6，6，3，满足三角形三边关系（6+3＞6，6+6＞3）。
情况二：若底边BC是腰AB的2倍，则AB=3÷2=1.5。此时三边长为1.5，1.5，3，因为1.5+1.5=3，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），所以舍去。
综上，腰AB的长为6。
答案：6
10. 等腰三角形的一个内角为 70°,则另外两个内角的度数分别是
55°、55°或70°、40°
.
答案：
当70°为顶角时，底角为$(180^{\circ}-70^{\circ})÷2=55^{\circ}$，另外两个内角为$55^{\circ}$、$55^{\circ}$；
当70°为底角时，顶角为$180^{\circ}-70^{\circ}×2=40^{\circ}$，另外两个内角为$70^{\circ}$、$40^{\circ}$。
综上，另外两个内角的度数分别是$55^{\circ}$、$55^{\circ}$或$70^{\circ}$、$40^{\circ}$。
当70°为底角时，顶角为$180^{\circ}-70^{\circ}×2=40^{\circ}$，另外两个内角为$70^{\circ}$、$40^{\circ}$。
综上，另外两个内角的度数分别是$55^{\circ}$、$55^{\circ}$或$70^{\circ}$、$40^{\circ}$。
11. 如图,在△ABC 中,D 是边 AB 上的动点,在边 AC、BC 上分别有点 E、F,使得 AE = AD,BF = BD. 若∠C = α,则∠EDF =
$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$
.
答案：
1. 首先，在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理：
因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B=180^{\circ}-\angle C = 180^{\circ}-\alpha$。
2. 然后，在$\triangle ADE$中，$AE = AD$，根据等腰三角形的性质：
设$\angle ADE=\angle AED$，由三角形内角和定理$\angle A+\angle ADE+\angle AED = 180^{\circ}$，则$\angle ADE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。
3. 接着，在$\triangle BDF$中，$BF = BD$，同理：
设$\angle BDF=\angle BFD$，由三角形内角和定理$\angle B+\angle BDF+\angle BFD = 180^{\circ}$，则$\angle BDF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B$。
4. 最后，求$\angle EDF$：
因为$\angle ADE+\angle EDF+\angle BDF = 180^{\circ}$，所以$\angle EDF=180^{\circ}-\angle ADE - \angle BDF$。
把$\angle ADE = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$，$\angle BDF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B$代入上式得：
$\angle EDF=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A)-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B)$。
去括号得$\angle EDF = 180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A - 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B$。
整理得$\angle EDF=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$。
又因为$\angle A+\angle B = 180^{\circ}-\alpha$，所以$\angle EDF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
故答案为$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
因为$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B=180^{\circ}-\angle C = 180^{\circ}-\alpha$。
2. 然后，在$\triangle ADE$中，$AE = AD$，根据等腰三角形的性质：
设$\angle ADE=\angle AED$，由三角形内角和定理$\angle A+\angle ADE+\angle AED = 180^{\circ}$，则$\angle ADE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$。
3. 接着，在$\triangle BDF$中，$BF = BD$，同理：
设$\angle BDF=\angle BFD$，由三角形内角和定理$\angle B+\angle BDF+\angle BFD = 180^{\circ}$，则$\angle BDF=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B$。
4. 最后，求$\angle EDF$：
因为$\angle ADE+\angle EDF+\angle BDF = 180^{\circ}$，所以$\angle EDF=180^{\circ}-\angle ADE - \angle BDF$。
把$\angle ADE = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A$，$\angle BDF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B$代入上式得：
$\angle EDF=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A)-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B)$。
去括号得$\angle EDF = 180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A - 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B$。
整理得$\angle EDF=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$。
又因为$\angle A+\angle B = 180^{\circ}-\alpha$，所以$\angle EDF = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
故答案为$90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$。
12. 如图,正六边形 ABCDEF 的顶点 A、F 分别在正方形 BMGH 的边 BH、GH 上. 若正方形 BMGH 的边长为 6,则正六边形 ABCDEF 的边长为______
4
.
答案：
1. 首先，设正六边形$ABCDEF$的边长为$x$：
因为正六边形$ABCDEF$的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$（$n = 6$），则内角$\angle BAF=\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$。
那么$\angle FAH = 180^{\circ}-\angle BAF=60^{\circ}$。
在$Rt\triangle AFH$中，$\angle AFH = 30^{\circ}$（$\angle FAH = 60^{\circ}$，$\angle H = 90^{\circ}$）。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$AH=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}x$。
2. 然后，根据正方形$BMGH$的边长$BH = 6$：
又因为$BH=BA + AH$，且$BA=x$，$AH=\frac{1}{2}x$。
所以$x+\frac{1}{2}x = 6$。
3. 最后，解方程：
合并同类项得$\frac{2x + x}{2}=6$，即$\frac{3x}{2}=6$。
两边同时乘以$\frac{2}{3}$，解得$x = 4$。
故正六边形$ABCDEF$的边长为$4$。
因为正六边形$ABCDEF$的内角和公式为$(n - 2)×180^{\circ}$（$n = 6$），则内角$\angle BAF=\frac{(6 - 2)×180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$。
那么$\angle FAH = 180^{\circ}-\angle BAF=60^{\circ}$。
在$Rt\triangle AFH$中，$\angle AFH = 30^{\circ}$（$\angle FAH = 60^{\circ}$，$\angle H = 90^{\circ}$）。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$AH=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}x$。
2. 然后，根据正方形$BMGH$的边长$BH = 6$：
又因为$BH=BA + AH$，且$BA=x$，$AH=\frac{1}{2}x$。
所以$x+\frac{1}{2}x = 6$。
3. 最后，解方程：
合并同类项得$\frac{2x + x}{2}=6$，即$\frac{3x}{2}=6$。
两边同时乘以$\frac{2}{3}$，解得$x = 4$。
故正六边形$ABCDEF$的边长为$4$。
13. 若点 P 关于 x 轴对称的点为$ P_1(2a + 1,-a + 1),$且点$ P_1 $在一、三象限的角平分线上,则点 P 的坐标为______
$(1,-1)$
.
答案：
解：因为点$P_1(2a + 1,-a + 1)$在一、三象限的角平分线上，所以横纵坐标相等，即$2a + 1=-a + 1$。
解得$3a=0$，$a=0$。
则$2a + 1=1$，$-a + 1=1$，所以$P_1$的坐标为$(1,1)$。
因为点$P$与$P_1$关于$x$轴对称，所以点$P$的坐标为$(1,-1)$。
$(1,-1)$
解得$3a=0$，$a=0$。
则$2a + 1=1$，$-a + 1=1$，所以$P_1$的坐标为$(1,1)$。
因为点$P$与$P_1$关于$x$轴对称，所以点$P$的坐标为$(1,-1)$。
$(1,-1)$
14. 如图,在△ABC 中,AB = AC,CD = CB. 若∠ACD = 40°,则∠BAC = ______.
$\frac{100}{3}^{\circ}$
答案：
解：设∠BAC = x。
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = $\frac{180^{\circ} - x}{2} = 90^{\circ} - \frac{x}{2}$。
∵∠ACD = 40°，
∴∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = $90^{\circ} - \frac{x}{2} - 40^{\circ} = 50^{\circ} - \frac{x}{2}$。
∵CD = CB，
∴∠CDB = ∠CBD = ∠ABC = $90^{\circ} - \frac{x}{2}$。
在△BCD中，∠BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180°，
即$50^{\circ} - \frac{x}{2} + 2(90^{\circ} - \frac{x}{2}) = 180^{\circ}$，
解得$x = (\frac{100}{3})^{\circ}$。
$(\frac{100}{3})^{\circ}$
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = $\frac{180^{\circ} - x}{2} = 90^{\circ} - \frac{x}{2}$。
∵∠ACD = 40°，
∴∠BCD = ∠ACB - ∠ACD = $90^{\circ} - \frac{x}{2} - 40^{\circ} = 50^{\circ} - \frac{x}{2}$。
∵CD = CB，
∴∠CDB = ∠CBD = ∠ABC = $90^{\circ} - \frac{x}{2}$。
在△BCD中，∠BCD + ∠CBD + ∠CDB = 180°，
即$50^{\circ} - \frac{x}{2} + 2(90^{\circ} - \frac{x}{2}) = 180^{\circ}$，
解得$x = (\frac{100}{3})^{\circ}$。
$(\frac{100}{3})^{\circ}$
15. 如图,在△ABC 中,AC = 8,BC = 5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,则△BCE 的周长为______.
13
答案：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE = BE。
∵AC = 8，
∴AE + EC = 8，即BE + EC = 8。
∵BC = 5，
∴△BCE的周长 = BE + EC + BC = 8 + 5 = 13。
13
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE = BE。
∵AC = 8，
∴AE + EC = 8，即BE + EC = 8。
∵BC = 5，
∴△BCE的周长 = BE + EC + BC = 8 + 5 = 13。
13
16. 若等腰三角形的两边长分别为 x cm 和(2x - 6)cm,且周长为 17 cm,则第三边的长为______
5cm 或$\frac{11}{2}cm$或$\frac{28}{5}cm$
.
答案：
1. 分情况讨论：
情况一：当$x = 2x−6$时：
解方程$x = 2x−6$，移项可得$2x−x = 6$，即$x = 6$。
则三边分别为$x = 6cm$，$2x−6 = 6cm$，第三边$y=17-(6 + 6)=5cm$。
此时$6 + 5＞6$，$6+6＞5$，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。
情况二：当$x$为腰长时：
则$2x+(2x - 6)=17$，
去括号得$2x+2x−6 = 17$，
移项合并同类项：$4x=17 + 6$，即$4x=23$，解得$x=\frac{23}{4}$。
则$2x−6=2×\frac{23}{4}-6=\frac{23}{2}-6=\frac{23 - 12}{2}=\frac{11}{2}$。
三边分别为$\frac{23}{4}cm$，$\frac{23}{4}cm$，$\frac{11}{2}cm$，因为$\frac{23}{4}+\frac{11}{2}=\frac{23 + 22}{4}=\frac{45}{4}＞\frac{23}{4}$，$\frac{23}{4}+\frac{23}{4}=\frac{23}{2}＞\frac{11}{2}$，满足三角形三边关系。
情况三：当$2x−6$为腰长时：
则$2(2x - 6)+x = 17$。
去括号得$4x-12 + x = 17$。
移项合并同类项：$5x=17 + 12$，即$5x=29$，解得$x=\frac{29}{5}$。
则$2x−6=2×\frac{29}{5}-6=\frac{58}{5}-6=\frac{58 - 30}{5}=\frac{28}{5}$。
三边分别为$\frac{29}{5}cm$，$\frac{28}{5}cm$，$\frac{28}{5}cm$，因为$\frac{29}{5}+\frac{28}{5}=\frac{57}{5}＞\frac{28}{5}$，$\frac{28}{5}+\frac{28}{5}=\frac{56}{5}＞\frac{29}{5}$，满足三角形三边关系。
2. 综上：
第三边的长为$5cm$或$\frac{11}{2}cm$或$\frac{28}{5}cm$。
故答案为$5cm$或$\frac{11}{2}cm$或$\frac{28}{5}cm$。
情况一：当$x = 2x−6$时：
解方程$x = 2x−6$，移项可得$2x−x = 6$，即$x = 6$。
则三边分别为$x = 6cm$，$2x−6 = 6cm$，第三边$y=17-(6 + 6)=5cm$。
此时$6 + 5＞6$，$6+6＞5$，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）。
情况二：当$x$为腰长时：
则$2x+(2x - 6)=17$，
去括号得$2x+2x−6 = 17$，
移项合并同类项：$4x=17 + 6$，即$4x=23$，解得$x=\frac{23}{4}$。
则$2x−6=2×\frac{23}{4}-6=\frac{23}{2}-6=\frac{23 - 12}{2}=\frac{11}{2}$。
三边分别为$\frac{23}{4}cm$，$\frac{23}{4}cm$，$\frac{11}{2}cm$，因为$\frac{23}{4}+\frac{11}{2}=\frac{23 + 22}{4}=\frac{45}{4}＞\frac{23}{4}$，$\frac{23}{4}+\frac{23}{4}=\frac{23}{2}＞\frac{11}{2}$，满足三角形三边关系。
情况三：当$2x−6$为腰长时：
则$2(2x - 6)+x = 17$。
去括号得$4x-12 + x = 17$。
移项合并同类项：$5x=17 + 12$，即$5x=29$，解得$x=\frac{29}{5}$。
则$2x−6=2×\frac{29}{5}-6=\frac{58}{5}-6=\frac{58 - 30}{5}=\frac{28}{5}$。
三边分别为$\frac{29}{5}cm$，$\frac{28}{5}cm$，$\frac{28}{5}cm$，因为$\frac{29}{5}+\frac{28}{5}=\frac{57}{5}＞\frac{28}{5}$，$\frac{28}{5}+\frac{28}{5}=\frac{56}{5}＞\frac{29}{5}$，满足三角形三边关系。
2. 综上：
第三边的长为$5cm$或$\frac{11}{2}cm$或$\frac{28}{5}cm$。
故答案为$5cm$或$\frac{11}{2}cm$或$\frac{28}{5}cm$。
17. 如图,△ABC 是边长为 3 的等边三角形,△BDC 是等腰三角形,且∠BDC = 120°,以 D 为顶点作一个 60°角,使其两边分别交 AB、AC 于点 M、N,连接 MN,则△AMN 的周长为______.
答案：
解：延长AC至E，使CE=BM，连接DE。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵△BDC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCE=180°-∠ACD=90°=∠ABD。
在△MBD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l} BM=CE\\ ∠MBD=∠ECD\\ BD=CD\end{array}\right.$
∴△MBD≌△ECD(SAS)，
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC。
∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠MDB+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠EDN=60°=∠MDN。
在△MDN和△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l} MD=ED\\ ∠MDN=∠EDN\\ DN=DN\end{array}\right.$
∴△MDN≌△EDN(SAS)，
∴MN=EN=CN+CE=CN+BM。
∵△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=(AM+BM)+(AN+CN)=AB+AC，
又
∵AB=AC=3，
∴△AMN的周长=3+3=6。
6
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵△BDC是等腰三角形，∠BDC=120°，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCE=180°-∠ACD=90°=∠ABD。
在△MBD和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l} BM=CE\\ ∠MBD=∠ECD\\ BD=CD\end{array}\right.$
∴△MBD≌△ECD(SAS)，
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC。
∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠MDB+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠EDN=60°=∠MDN。
在△MDN和△EDN中，
$\left\{\begin{array}{l} MD=ED\\ ∠MDN=∠EDN\\ DN=DN\end{array}\right.$
∴△MDN≌△EDN(SAS)，
∴MN=EN=CN+CE=CN+BM。
∵△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+CN=(AM+BM)+(AN+CN)=AB+AC，
又
∵AB=AC=3，
∴△AMN的周长=3+3=6。
6
18. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,以△ABC 的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为
7
.
答案：
解：以AC为腰：
- 以A为顶点，在AB上取点D，使AD=AC；
- 以C为顶点，在AB上取点D，使CD=AC。
以BC为腰：
- 以B为顶点，在AB上取点D，使BD=BC；
- 以C为顶点，在AB上取点D，使CD=BC。
以AB为腰：
- 以A为顶点，在BC上取点D，使AD=AB；
- 以B为顶点，在AC上取点D，使BD=AB。
以AB为底：
- 在AB上取中点D，连接CD，CD=AD=BD。
综上，共7个不同的等腰三角形。
7
- 以A为顶点，在AB上取点D，使AD=AC；
- 以C为顶点，在AB上取点D，使CD=AC。
以BC为腰：
- 以B为顶点，在AB上取点D，使BD=BC；
- 以C为顶点，在AB上取点D，使CD=BC。
以AB为腰：
- 以A为顶点，在BC上取点D，使AD=AB；
- 以B为顶点，在AC上取点D，使BD=AB。
以AB为底：
- 在AB上取中点D，连接CD，CD=AD=BD。
综上，共7个不同的等腰三角形。
7
19. (7 分)(2024·长沙中考)如图,点 C 在线段 AD 上,AB = AD,∠B = ∠D,BC = DE.
(2)若∠BAC = 60°,求∠ACE 的度数.
(2)若∠BAC = 60°,求∠ACE 的度数.
答案：
（1）证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\begin{cases}BC = DE,\\\angle B=\angle D,\\AB = AD,\end{cases}\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE(SAS)$；
（2）解：由（1）得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，$\therefore AC = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$，$\therefore\angle AEC=\angle ACE$，$\because\angle AEC+\angle ACE+\angle DAE=180^{\circ}$，$\therefore2\angle ACE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，$\therefore\angle ACE = 60^{\circ}$。
（2）解：由（1）得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，$\therefore AC = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$，$\therefore\angle AEC=\angle ACE$，$\because\angle AEC+\angle ACE+\angle DAE=180^{\circ}$，$\therefore2\angle ACE=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，$\therefore\angle ACE = 60^{\circ}$。
20. (7 分)如图,点 C 在线段 AD 上,AB = AD,∠B = ∠D,BC = DE.
(1)求证：△ABC ≌ △ADE；
(2)若∠BAC = 60°,求∠ACE 的度数.
(1)求证：△ABC ≌ △ADE；
(2)若∠BAC = 60°,求∠ACE 的度数.
答案：
（1）证明：在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，
$\begin{cases}BC = DE,\\\angle B = \angle D,\\AB = AD,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE(\text{SAS})$。
（2）解：由（1）得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，
$\therefore AC = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle ACE$是等腰三角形，
$\therefore\angle ACE=\angle AEC$，
$\because\angle ACE+\angle AEC+\angle DAE=180^{\circ}$，
$\therefore2\angle ACE + 60^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore\angle ACE = 60^{\circ}$。
$\begin{cases}BC = DE,\\\angle B = \angle D,\\AB = AD,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle ADE(\text{SAS})$。
（2）解：由（1）得$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，
$\therefore AC = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle ACE$是等腰三角形，
$\therefore\angle ACE=\angle AEC$，
$\because\angle ACE+\angle AEC+\angle DAE=180^{\circ}$，
$\therefore2\angle ACE + 60^{\circ}=180^{\circ}$，
$\therefore\angle ACE = 60^{\circ}$。
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