《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

1. (2024秋·海安期中)下列各式从左到右的变形为因式分解的是 (B)
A.$ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = ( x - y ) ^ { 2 } $
B.$ x ^ { 2 } - 8 x + 16 = ( x - 4 ) ^ { 2 } $
C.$ ( a + 2 ) ( a - 1 ) = a ^ { 2 } + a - 2 $
D.$ a ^ { 2 } - 4 + 3 a = ( a + 2 ) ( a - 2 ) + 3 a $

答案： 解：A. $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \neq (x - y)^2$，变形错误，不是因式分解；
B. $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$，是把多项式化为整式积的形式，是因式分解；
C. $(a + 2)(a - 1) = a^2 + a - 2$，是整式乘法，不是因式分解；
D. $a^2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a$，结果不是整式积的形式，不是因式分解。
故选：B

2. (2024秋·西安期末)下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是 (B)
A.$ - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $
B.$ - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } $
C.$ 49 x ^ { 2 } - z ^ { 2 } $
D.$ 16 m ^ { 2 } - 25 n ^ { 2 } $

答案： 平方差公式为$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其特点是两项式，两项符号相反且都能写成平方形式。
- 选项A：$-a^2 + b^2=b^2 - a^2=(b + a)(b - a)$，能运用平方差公式。
- 选项B：$-x^2 - y^2=-(x^2 + y^2)$，两项符号相同，不能运用平方差公式。
- 选项C：$49x^2 - z^2=(7x)^2 - z^2=(7x + z)(7x - z)$，能运用平方差公式。
- 选项D：$16m^2 - 25n^2=(4m)^2 - (5n)^2=(4m + 5n)(4m - 5n)$，能运用平方差公式。
答案：B

3. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是 (D)
A.205
B.250
C.502
D.520

答案： 解：设两个连续奇数分别为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数）。
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1)\\&=4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 + 4n - 1\\&=8n\end{aligned}$
所以“幸福数”是$8$的倍数。
A. $205÷8=25.625$，不是整数，不是“幸福数”。
B. $250÷8=31.25$，不是整数，不是“幸福数”。
C. $502÷8=62.75$，不是整数，不是“幸福数”。
D. $520÷8=65$，是整数，是“幸福数”。
结论：D

4. (2024秋·玉林期末)若关于x的二次三项式$ 4 x ^ { 2 } + ( m - 1 ) x + 4 $是一个完全平方式,则m的值为 (D)
A.$ m = - 7 $
B.$ m = 9 $
C.$ m = 5 或 m = - 3 $
D.$ m = - 7 或 m = 9 $

答案： 解：因为二次三项式$4x^2 + (m - 1)x + 4$是完全平方式，且$4x^2=(2x)^2$，$4=(\pm2)^2$，所以$4x^2 + (m - 1)x + 4=(2x\pm2)^2$。
展开$(2x + 2)^2=4x^2 + 8x + 4$，则$m - 1=8$，解得$m=9$；
展开$(2x - 2)^2=4x^2 - 8x + 4$，则$m - 1=-8$，解得$m=-7$。
综上，$m=-7$或$m=9$。
答案：D

5. 若$ ( - a + b ) \cdot M = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $,则M等于 (A)
A.$ - a - b $
B.$ - a + b $
C.$ a - b $
D.$ a + b $

答案： 解：因为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = - (a + b)(-a + b)$，已知$(-a + b) \cdot M = a^2 - b^2$，所以$M = - (a + b) = -a - b$。
A

6. (2024·深圳罗湖区校级模拟)已知a,b,c是$ \triangle A B C $的三边长,满足$ a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = 2 a b + 2 b c $,据此判断$ \triangle A B C $的形状是 (B)
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 解：已知$a^2 + 2b^2 + c^2 = 2ab + 2bc$，
移项得：$a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0$，
即$(a - b)^2 + (b - c)^2 = 0$，
因为$(a - b)^2 \geq 0$，$(b - c)^2 \geq 0$，
所以$a - b = 0$且$b - c = 0$，
则$a = b$且$b = c$，
所以$a = b = c$，
故$\triangle ABC$是等边三角形。
答案：B

7. 式子$ n ^ { 2 } - 1 与 n ^ { 2 } + n $的公因式是 (A)
A.$ n + 1 $
B.$ n ^ { 2 } $
C.n
D.$ n - 1 $

答案： 解：
$n^2 - 1 = (n + 1)(n - 1)$，
$n^2 + n = n(n + 1)$，
两式的公因式是$n + 1$。
答案：A

8. 若$ 4 x ^ { 2 } - 12 x y + m y ^ { 2 } $是完全平方式,$ 4 x ^ { 2 } - n x y + 9 y ^ { 2 } $是完全平方式,则m和n的值分别是 (D)
A.$ m = 9 , n = 12 $
B.$ m = 9 , n = - 12 $
C.$ m = - 9 , n = \pm 12 $
D.$ m = 9 , n = \pm 12 $

答案： 解：对于$4x^2 - 12xy + my^2$，$4x^2=(2x)^2$，中间项$-12xy=2×2x×(-3y)$，故$my^2=(-3y)^2=9y^2$，则$m=9$。
对于$4x^2 - nxy + 9y^2$，$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(\pm3y)^2$，中间项$-nxy=2×2x×(\pm3y)=\pm12xy$，故$-n=\pm12$，即$n=\pm12$。
综上，$m=9$，$n=\pm12$。
答案：D

9. (2024·海安二模)因式分解:$ 2 x ^ { 2 } - 4 x + 2 = $$2(x - 1)^2$.

答案： 解：$2x^2 - 4x + 2$
$=2(x^2 - 2x + 1)$
$=2(x - 1)^2$

10. (2024·绥化中考)分解因式:$ 2 m x ^ { 2 } - 8 m y ^ { 2 } = $2m(x + 2y)(x - 2y).

答案： 2m(x + 2y)(x - 2y)

11. 分解因式:$ ( x + 2 ) x - ( x + 2 ) = $(x+2)(x-1).

答案： 解：原式=(x+2)(x-1)

12. (2024秋·南通崇川区校级月考)若$ \sqrt { x - y } + y ^ { 2 } - 4 y + 4 = 0 $,则xy的值为______.4

答案： 解：$\sqrt{x - y} + y^2 - 4y + 4 = 0$
$\sqrt{x - y} + (y - 2)^2 = 0$
因为$\sqrt{x - y} \geq 0$，$(y - 2)^2 \geq 0$
所以$\sqrt{x - y} = 0$，$(y - 2)^2 = 0$
即$x - y = 0$，$y - 2 = 0$
解得$y = 2$，$x = 2$
$xy = 2×2 = 4$
4