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9. 若$ a 与 b $互为相反数,且$ a $、$ b $均不为零,则$ \left( \frac { a ^ { 2 } } { b } - b \right) ÷ \left( \frac { a } { b } - 1 \right) $的值为 (
A.3
B.$ - 3 $
C.$ \frac { 1 } { 5 } $
D.0
D
)A.3
B.$ - 3 $
C.$ \frac { 1 } { 5 } $
D.0
答案：
解：因为$a$与$b$互为相反数，且$a$、$b$均不为零，所以$a = -b$。
$\begin{aligned}&\left( \frac{a^2}{b} - b \right) ÷ \left( \frac{a}{b} - 1 \right)\\=&\left( \frac{a^2 - b^2}{b} \right) ÷ \left( \frac{a - b}{b} \right)\\=&\frac{(a + b)(a - b)}{b} × \frac{b}{a - b}\\=&a + b\end{aligned}$
又因为$a = -b$，所以$a + b = 0$。
答案：D
$\begin{aligned}&\left( \frac{a^2}{b} - b \right) ÷ \left( \frac{a}{b} - 1 \right)\\=&\left( \frac{a^2 - b^2}{b} \right) ÷ \left( \frac{a - b}{b} \right)\\=&\frac{(a + b)(a - b)}{b} × \frac{b}{a - b}\\=&a + b\end{aligned}$
又因为$a = -b$，所以$a + b = 0$。
答案：D
10. 已知关于 x 的方程$ \frac { m } { x ^ { 2 } - 9 x + 14 } + \frac { 3 } { x - 7 } = 1 $无解,则 m 的值为 (
A.1或$ - 14 $
B.0或$ - 15 $
C.0
D.$ - 15 $
D
)A.1或$ - 14 $
B.0或$ - 15 $
C.0
D.$ - 15 $
答案：
解：方程两边同乘$(x-2)(x-7)$，得$m + 3(x-2) = (x-2)(x-7)$。
整理得$x^2 - 12x + (14 + 6 - m) = 0$，即$x^2 - 12x + (20 - m) = 0$。
方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解，即判别式$\Delta = (-12)^2 - 4(20 - m) ＜ 0$，$144 - 80 + 4m ＜ 0$，$4m ＜ -64$，$m ＜ -16$，无选项符合。
2. 整式方程的解为增根，原方程增根为$x=2$或$x=7$。
当$x=2$时，代入整式方程：$4 - 24 + 20 - m = 0$，$0 - m = 0$，$m=0$。
当$x=7$时，代入整式方程：$49 - 84 + 20 - m = 0$，$-15 - m = 0$，$m=-15$。
经检验，$m=0$时，原方程化简为$\frac{0}{(x-2)(x-7)} + \frac{3}{x-7}=1$，即$\frac{3}{x-7}=1$，解得$x=10$，有解，故$m=0$舍去。
综上，$m=-15$。
答案：D
整理得$x^2 - 12x + (14 + 6 - m) = 0$，即$x^2 - 12x + (20 - m) = 0$。
方程无解分两种情况：
1. 整式方程无解，即判别式$\Delta = (-12)^2 - 4(20 - m) ＜ 0$，$144 - 80 + 4m ＜ 0$，$4m ＜ -64$，$m ＜ -16$，无选项符合。
2. 整式方程的解为增根，原方程增根为$x=2$或$x=7$。
当$x=2$时，代入整式方程：$4 - 24 + 20 - m = 0$，$0 - m = 0$，$m=0$。
当$x=7$时，代入整式方程：$49 - 84 + 20 - m = 0$，$-15 - m = 0$，$m=-15$。
经检验，$m=0$时，原方程化简为$\frac{0}{(x-2)(x-7)} + \frac{3}{x-7}=1$，即$\frac{3}{x-7}=1$，解得$x=10$，有解，故$m=0$舍去。
综上，$m=-15$。
答案：D
11. 若分式$ \frac { x ^ { 2 } - 9 } { x - 3 } $的值为0,则$ x $的值为
-3
.
答案：
解：要使分式$\frac{x^2 - 9}{x - 3}$的值为$0$，则分子$x^2 - 9 = 0$且分母$x - 3 \neq 0$。
由$x^2 - 9 = 0$，得$(x + 3)(x - 3) = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$。
又因为$x - 3 \neq 0$，即$x \neq 3$，所以$x = -3$。
$-3$
由$x^2 - 9 = 0$，得$(x + 3)(x - 3) = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$。
又因为$x - 3 \neq 0$，即$x \neq 3$，所以$x = -3$。
$-3$
12. 将分式的分子与分母中各项系数化为整数,则$ \frac { a + \frac { 1 } { 3 } b } { \frac { 2 } { 3 } a - \frac { 1 } { 2 } b } = $
$\frac{6a + 2b}{4a - 3b}$
.
答案：
解：分子分母同乘6，得
$\frac{6a + 2b}{4a - 3b}$
$\frac{6a + 2b}{4a - 3b}$
$\frac{6a + 2b}{4a - 3b}$
$\frac{6a + 2b}{4a - 3b}$
13. 化简:$ \frac { a - 3 } { a ^ { 2 } + 4 a + 4 } \cdot \frac { a ^ { 2 } - 4 } { a - 3 } + \frac { 2 } { a + 2 } = $
$\frac{a}{a + 2}$
.
答案：
解：原式$=\frac{a-3}{(a+2)^2} \cdot \frac{(a+2)(a-2)}{a-3} + \frac{2}{a+2}$
$=\frac{a-2}{a+2} + \frac{2}{a+2}$
$=\frac{a-2 + 2}{a+2}$
$=\frac{a}{a+2}$
$\frac{a}{a + 2}$
$=\frac{a-2}{a+2} + \frac{2}{a+2}$
$=\frac{a-2 + 2}{a+2}$
$=\frac{a}{a+2}$
$\frac{a}{a + 2}$
14. 若$ a ^ { 2 } - 2 a - 15 = 0 $,则代数式$ \left( a - \frac { 4 a - 4 } { a } \right) \cdot \frac { a ^ { 2 } } { a - 2 } $的值是______
15
.
答案：
解：原式$=\left( \frac{a^{2}}{a}-\frac{4a - 4}{a}\right)\cdot\frac{a^{2}}{a - 2}$
$=\frac{a^{2}-4a + 4}{a}\cdot\frac{a^{2}}{a - 2}$
$=\frac{(a - 2)^{2}}{a}\cdot\frac{a^{2}}{a - 2}$
$=a(a - 2)$
$=a^{2}-2a$
因为$a^{2}-2a - 15=0$，所以$a^{2}-2a=15$。
故原式的值为$15$。
15
$=\frac{a^{2}-4a + 4}{a}\cdot\frac{a^{2}}{a - 2}$
$=\frac{(a - 2)^{2}}{a}\cdot\frac{a^{2}}{a - 2}$
$=a(a - 2)$
$=a^{2}-2a$
因为$a^{2}-2a - 15=0$，所以$a^{2}-2a=15$。
故原式的值为$15$。
15
15. 汽车从甲地开往乙地,每小时行驶$ v _ { 1 } $千米,$ t $小时可以到达,如果每小时多行驶$ v _ { 2 } $千米,那么可提前
$\frac{v_{2}t}{v_{1} + v_{2}}$
小时到达.
答案：
解：甲乙两地的距离为 $ v_{1}t $ 千米。
速度提高后为 $ (v_{1} + v_{2}) $ 千米/小时，此时到达乙地所需时间为 $ \frac{v_{1}t}{v_{1} + v_{2}} $ 小时。
提前的时间为 $ t - \frac{v_{1}t}{v_{1} + v_{2}} = \frac{t(v_{1} + v_{2}) - v_{1}t}{v_{1} + v_{2}} = \frac{v_{2}t}{v_{1} + v_{2}} $ 小时。
$\frac{v_{2}t}{v_{1} + v_{2}}$
速度提高后为 $ (v_{1} + v_{2}) $ 千米/小时，此时到达乙地所需时间为 $ \frac{v_{1}t}{v_{1} + v_{2}} $ 小时。
提前的时间为 $ t - \frac{v_{1}t}{v_{1} + v_{2}} = \frac{t(v_{1} + v_{2}) - v_{1}t}{v_{1} + v_{2}} = \frac{v_{2}t}{v_{1} + v_{2}} $ 小时。
$\frac{v_{2}t}{v_{1} + v_{2}}$
16. (1) 若实数$ m $、$ n $满足$ m ^ { 2 } - m + \frac { 1 } { 4 } + | n + 2 025 | = 0 $,则$ m ^ { - 2 } - n ^ { 0 } = $
(2) (2025·苏州模拟)已知关于$ x $的分式方程$ \frac { k } { x - 1 } + 2 = \frac { x } { 1 - x } $的解是非负数,则$ k $的取值范围是
3
;(2) (2025·苏州模拟)已知关于$ x $的分式方程$ \frac { k } { x - 1 } + 2 = \frac { x } { 1 - x } $的解是非负数,则$ k $的取值范围是
$k \leq 2$且$k \neq -1$
.
答案：
(1) 解：$m^2 - m + \frac{1}{4} + |n + 2025| = 0$可化为$(m - \frac{1}{2})^2 + |n + 2025| = 0$。
因为$(m - \frac{1}{2})^2 \geq 0$，$|n + 2025| \geq 0$，所以$m - \frac{1}{2} = 0$，$n + 2025 = 0$，解得$m = \frac{1}{2}$，$n = -2025$。
$m^{-2} - n^0 = (\frac{1}{2})^{-2} - (-2025)^0 = 4 - 1 = 3$。
(2) 解：方程$\frac{k}{x - 1} + 2 = \frac{x}{1 - x}$两边同乘$x - 1$得：$k + 2(x - 1) = -x$，解得$x = \frac{2 - k}{3}$。
因为解是非负数，所以$\frac{2 - k}{3} \geq 0$，即$2 - k \geq 0$，$k \leq 2$。
又因为$x - 1 \neq 0$，即$\frac{2 - k}{3} \neq 1$，$2 - k \neq 3$，$k \neq -1$。
所以$k$的取值范围是$k \leq 2$且$k \neq -1$。
答案：
(1) $3$；
(2) $k \leq 2$且$k \neq -1$
(1) 解：$m^2 - m + \frac{1}{4} + |n + 2025| = 0$可化为$(m - \frac{1}{2})^2 + |n + 2025| = 0$。
因为$(m - \frac{1}{2})^2 \geq 0$，$|n + 2025| \geq 0$，所以$m - \frac{1}{2} = 0$，$n + 2025 = 0$，解得$m = \frac{1}{2}$，$n = -2025$。
$m^{-2} - n^0 = (\frac{1}{2})^{-2} - (-2025)^0 = 4 - 1 = 3$。
(2) 解：方程$\frac{k}{x - 1} + 2 = \frac{x}{1 - x}$两边同乘$x - 1$得：$k + 2(x - 1) = -x$，解得$x = \frac{2 - k}{3}$。
因为解是非负数，所以$\frac{2 - k}{3} \geq 0$，即$2 - k \geq 0$，$k \leq 2$。
又因为$x - 1 \neq 0$，即$\frac{2 - k}{3} \neq 1$，$2 - k \neq 3$，$k \neq -1$。
所以$k$的取值范围是$k \leq 2$且$k \neq -1$。
答案：
(1) $3$；
(2) $k \leq 2$且$k \neq -1$
17. 已知关于 x 的分式方程$ \frac { 1 } { 2 x + 3 } - \frac { a - x } { x - 5 } = 1 $无解,则 a 的值为
5或$\frac{11}{2}$
.
答案：
解：方程两边同乘$(2x+3)(x-5)$，得：
$x - 5 - (a - x)(2x + 3) = (2x + 3)(x - 5)$
展开并整理得：
$2(a - 5)x = -15a - 10$
情况一：当$2(a - 5) = 0$，即$a = 5$时，方程左边为$0$，右边为$-15×5 - 10 = -85 ≠ 0$，方程无解。
情况二：当$2(a - 5) ≠ 0$，即$a ≠ 5$时，$x = \frac{-15a - 10}{2(a - 5)}$。
若原方程无解，则$x$为增根，即$2x + 3 = 0$或$x - 5 = 0$。
- 当$2x + 3 = 0$，$x = -\frac{3}{2}$，代入$x = \frac{-15a - 10}{2(a - 5)}$，解得$a = \frac{11}{2}$。
- 当$x - 5 = 0$，$x = 5$，代入$x = \frac{-15a - 10}{2(a - 5)}$，方程无解。
综上，$a$的值为$5$或$\frac{11}{2}$。
答案：$5$或$\frac{11}{2}$
$x - 5 - (a - x)(2x + 3) = (2x + 3)(x - 5)$
展开并整理得：
$2(a - 5)x = -15a - 10$
情况一：当$2(a - 5) = 0$，即$a = 5$时，方程左边为$0$，右边为$-15×5 - 10 = -85 ≠ 0$，方程无解。
情况二：当$2(a - 5) ≠ 0$，即$a ≠ 5$时，$x = \frac{-15a - 10}{2(a - 5)}$。
若原方程无解，则$x$为增根，即$2x + 3 = 0$或$x - 5 = 0$。
- 当$2x + 3 = 0$，$x = -\frac{3}{2}$，代入$x = \frac{-15a - 10}{2(a - 5)}$，解得$a = \frac{11}{2}$。
- 当$x - 5 = 0$，$x = 5$，代入$x = \frac{-15a - 10}{2(a - 5)}$，方程无解。
综上，$a$的值为$5$或$\frac{11}{2}$。
答案：$5$或$\frac{11}{2}$
18. 已知三个数$ x $、$ y $、$ z 满足 \frac { x y } { x + y } = - 2 $,$ \frac { y z } { y + z } = \frac { 4 } { 3 } $,$ \frac { z x } { z + x } = - \frac { 4 } { 3 } $,则$ \frac { x y z } { x y + y z + z x } = $
-4
.
答案：
解：对已知等式取倒数，得
$\begin{cases}\frac{x + y}{xy} = -\frac{1}{2} \\frac{y + z}{yz} = \frac{3}{4} \\frac{z + x}{zx} = -\frac{3}{4}\end{cases}$
即
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \quad (1) \\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4} \quad (2) \\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = -\frac{3}{4} \quad (3)\end{cases}$
$(1)+(2)+(3)$得：$2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = -\frac{1}{4}$
又$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{yz + zx + xy}{xyz}$
$\therefore \frac{xy + yz + zx}{xyz} = -\frac{1}{4}$
$\therefore \frac{xyz}{xy + yz + zx} = -4$
$-4$
$\begin{cases}\frac{x + y}{xy} = -\frac{1}{2} \\frac{y + z}{yz} = \frac{3}{4} \\frac{z + x}{zx} = -\frac{3}{4}\end{cases}$
即
$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{2} \quad (1) \\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4} \quad (2) \\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = -\frac{3}{4} \quad (3)\end{cases}$
$(1)+(2)+(3)$得：$2\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$
$\therefore \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = -\frac{1}{4}$
又$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{yz + zx + xy}{xyz}$
$\therefore \frac{xy + yz + zx}{xyz} = -\frac{1}{4}$
$\therefore \frac{xyz}{xy + yz + zx} = -4$
$-4$
19. (8分)计算:
(1)$ \frac { a ^ { 2 } - 4 } { a + 2 } + a + 2 $;
(2)$ \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 4 } - \frac { 1 } { x - 2 } $;
(3)$ ( x ^ { 2 } - 2 x ) ÷ \frac { x ^ { 2 } - x - 2 } { x + 1 } $;
(4)$ \left( a - 2 - \frac { 4 } { a - 2 } \right) ÷ \frac { a - 4 } { a ^ { 2 } - 4 } $.
(1)$ \frac { a ^ { 2 } - 4 } { a + 2 } + a + 2 $;
(2)$ \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 4 } - \frac { 1 } { x - 2 } $;
(3)$ ( x ^ { 2 } - 2 x ) ÷ \frac { x ^ { 2 } - x - 2 } { x + 1 } $;
(4)$ \left( a - 2 - \frac { 4 } { a - 2 } \right) ÷ \frac { a - 4 } { a ^ { 2 } - 4 } $.
答案：
(1)解：原式$=\frac{(a+2)(a-2)}{a+2}+a+2$
$=a-2+a+2$
$=2a$
(2)解：原式$=\frac{2x}{(x+2)(x-2)}-\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{1}{x+2}$
(3)解：原式$=x(x-2)\cdot\frac{x+1}{(x-2)(x+1)}$
$=x$
(4)解：原式$=\left(\frac{(a-2)^2}{a-2}-\frac{4}{a-2}\right)\cdot\frac{(a+2)(a-2)}{a-4}$
$=\frac{a^2 - 4a + 4 - 4}{a - 2}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 4}$
$=\frac{a^2 - 4a}{a - 2}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 4}$
$=\frac{a(a - 4)}{a - 2}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 4}$
$=a(a + 2)$
$=a^2 + 2a$
(1)解：原式$=\frac{(a+2)(a-2)}{a+2}+a+2$
$=a-2+a+2$
$=2a$
(2)解：原式$=\frac{2x}{(x+2)(x-2)}-\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{2x-x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{1}{x+2}$
(3)解：原式$=x(x-2)\cdot\frac{x+1}{(x-2)(x+1)}$
$=x$
(4)解：原式$=\left(\frac{(a-2)^2}{a-2}-\frac{4}{a-2}\right)\cdot\frac{(a+2)(a-2)}{a-4}$
$=\frac{a^2 - 4a + 4 - 4}{a - 2}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 4}$
$=\frac{a^2 - 4a}{a - 2}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 4}$
$=\frac{a(a - 4)}{a - 2}\cdot\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 4}$
$=a(a + 2)$
$=a^2 + 2a$
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