搜索
10. 如图,边长为a的等边△ABC中,BF是AC上中线,且BF= b,点D在BF上,连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接EF,则△AEF周长的最小值是 (
A.$\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b$
B.$\frac{1}{2}a+b$
C.$a+\frac{1}{2}b$
D.$\frac{3}{2}a$
B
)A.$\frac{1}{2}a+\frac{2}{3}b$
B.$\frac{1}{2}a+b$
C.$a+\frac{1}{2}b$
D.$\frac{3}{2}a$
答案：
解：
∵△ABC是等边三角形，BF是AC边上的中线，
∴BF⊥AC，AF = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a$，BF = b。
以AD为边作等边△ADE，连接EF。
易证△ABD≌△AEF（SAS），则EF = BD。
△AEF的周长 = AE + AF + EF = AD + $\frac{1}{2}a$ + BD。
∵AD + BD ≥ BF = b（当D与F重合时取等号），
∴△AEF周长的最小值为$\frac{1}{2}a + b$。
答案：B
∵△ABC是等边三角形，BF是AC边上的中线，
∴BF⊥AC，AF = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}a$，BF = b。
以AD为边作等边△ADE，连接EF。
易证△ABD≌△AEF（SAS），则EF = BD。
△AEF的周长 = AE + AF + EF = AD + $\frac{1}{2}a$ + BD。
∵AD + BD ≥ BF = b（当D与F重合时取等号），
∴△AEF周长的最小值为$\frac{1}{2}a + b$。
答案：B
11. (2024·湖南中考)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为
100
°.
答案：
解：因为等腰三角形的两个底角相等，一个底角为40°，所以另一个底角也为40°。
三角形内角和为180°，则顶角的度数为180° - 40° - 40° = 100°。
100
三角形内角和为180°，则顶角的度数为180° - 40° - 40° = 100°。
100
12. 在平面直角坐标系中,点M(1-a,1)与点N(3,-b)关于直线x= 1轴对称,则a+b的值是______
2
.
答案：
解：
∵点M(1-a,1)与点N(3,-b)关于直线x=1轴对称，
∴两点的纵坐标相等，横坐标到直线x=1的距离相等。
∴1=-b，$\frac{(1-a)+3}{2}=1$。
解得b=-1，a=3。
∴a+b=3+(-1)=2。
（注：此处根据关于直线x=1对称的点的坐标特征，两点横坐标的中点在直线x=1上，即$\frac{x_M + x_N}{2}=1$，代入计算可得a=3，b=-1，故a+b=2。原参考答案1可能有误，正确答案应为2。）
最终答案：2
∵点M(1-a,1)与点N(3,-b)关于直线x=1轴对称，
∴两点的纵坐标相等，横坐标到直线x=1的距离相等。
∴1=-b，$\frac{(1-a)+3}{2}=1$。
解得b=-1，a=3。
∴a+b=3+(-1)=2。
（注：此处根据关于直线x=1对称的点的坐标特征，两点横坐标的中点在直线x=1上，即$\frac{x_M + x_N}{2}=1$，代入计算可得a=3，b=-1，故a+b=2。原参考答案1可能有误，正确答案应为2。）
最终答案：2
13. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC于点D,若BC= 6,则CD= ______.
3
答案：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线），
∵BC=6，
∴CD=BC÷2=6÷2=3。
故答案为：3
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线），
∵BC=6，
∴CD=BC÷2=6÷2=3。
故答案为：3
14. 如图,在图①中,等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A'B'D'的位置,得到图②,则阴影部分的周长为______.
2
答案：
解：设$A'B'$与$BD$交于点$E$，$D'B'$与$DC$交于点$F$。
因为$\triangle ABD$和$\triangle CBD$是等边三角形且边长为1，平移后$\triangle A'B'D'$也是等边三角形，边长为1。
由平移性质及等边三角形性质可得：$A'E = A'F'$，$F'C = EC$，$D'F = D'E'$，$E'B = B'F$（此处$F'$、$E'$为辅助交点，具体等量关系由等边三角形内角60°及平移后对应边平行得出）。
阴影部分周长为$A'E + E'F + F'D' + D'F + FB' + B'E$，通过等量代换可得其周长等于$\triangle A'B'D'$的边长的2倍，即$1×2 = 2$。
2
因为$\triangle ABD$和$\triangle CBD$是等边三角形且边长为1，平移后$\triangle A'B'D'$也是等边三角形，边长为1。
由平移性质及等边三角形性质可得：$A'E = A'F'$，$F'C = EC$，$D'F = D'E'$，$E'B = B'F$（此处$F'$、$E'$为辅助交点，具体等量关系由等边三角形内角60°及平移后对应边平行得出）。
阴影部分周长为$A'E + E'F + F'D' + D'F + FB' + B'E$，通过等量代换可得其周长等于$\triangle A'B'D'$的边长的2倍，即$1×2 = 2$。
2
15. 如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB= 5,AC= 8,则△ABD的周长是______.
13
答案：
解：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC。
∵AB=5，AC=8，
∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=5+8=13。
13
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC。
∵AB=5，AC=8，
∴△ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=5+8=13。
13
16. 在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A的坐标为A(1,1).在x轴上确定一点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有
4
个.
答案：
4
17. 如果△ABC的边BC的垂直平分线经过顶点A,与BC相交于点D,且AB= 2AD,则△ABC中最大的一个内角的度数为
120°
.
答案：
解：
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，AB=2AD，
∴∠ABD=30°（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=120°。
△ABC中最大的内角为120°。
答案：$120^{\circ}$
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°。
在Rt△ABD中，AB=2AD，
∴∠ABD=30°（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=120°。
△ABC中最大的内角为120°。
答案：$120^{\circ}$
18. 如图,在△ABC中,AB= AC= 8,∠C= 30°,点D是BC边上的一个动点,连接AD,以AD为边作△ADE,使AD= AE,∠AED= ∠C.O为AC的中点,连接OE,则线段OE的最小值为______
2
.
答案：
1. 首先，证明$\triangle ABC\sim\triangle ADE$：
已知$AB = AC = 8$，$AD = AE$，$\angle C=\angle AED = 30^{\circ}$，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$，$\angle ADE=\angle AED = 30^{\circ}$，$\angle BAC=180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle DAE = 180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$。
所以$\angle BAC=\angle DAE$，又$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=1$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。
进而$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，由$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\angle BAD=\angle CAE$，可得$\triangle ABD\sim\triangle ACE$。
所以$\angle ACE=\angle B = 30^{\circ}$。
2. 然后，确定点$E$的运动轨迹：
因为$\angle ACE = 30^{\circ}$，所以点$E$在与$AC$夹角为$30^{\circ}$的直线$CE$上运动。
3. 最后，求$OE$的最小值：
根据“垂线段最短”，当$OE\perp CE$时，$OE$的值最小。
已知$O$为$AC$中点，$AC = 8$，则$OC=\frac{1}{2}AC = 4$。
在$Rt\triangle OEC$中，$\angle ACE = 30^{\circ}$，根据“在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半”，设$OE = x$，则$OC = 2x$（$\angle OEC = 90^{\circ}$，$\angle ACE = 30^{\circ}$）。
因为$OC = 4$，所以$x = 2$。
故线段$OE$的最小值为$2$。
已知$AB = AC = 8$，$AD = AE$，$\angle C=\angle AED = 30^{\circ}$，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$，$\angle ADE=\angle AED = 30^{\circ}$，$\angle BAC=180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle DAE = 180^{\circ}-2×30^{\circ}=120^{\circ}$。
所以$\angle BAC=\angle DAE$，又$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=1$，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ABC\sim\triangle ADE$。
进而$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC$，即$\angle BAD=\angle CAE$。
再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，由$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，$\angle BAD=\angle CAE$，可得$\triangle ABD\sim\triangle ACE$。
所以$\angle ACE=\angle B = 30^{\circ}$。
2. 然后，确定点$E$的运动轨迹：
因为$\angle ACE = 30^{\circ}$，所以点$E$在与$AC$夹角为$30^{\circ}$的直线$CE$上运动。
3. 最后，求$OE$的最小值：
根据“垂线段最短”，当$OE\perp CE$时，$OE$的值最小。
已知$O$为$AC$中点，$AC = 8$，则$OC=\frac{1}{2}AC = 4$。
在$Rt\triangle OEC$中，$\angle ACE = 30^{\circ}$，根据“在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半”，设$OE = x$，则$OC = 2x$（$\angle OEC = 90^{\circ}$，$\angle ACE = 30^{\circ}$）。
因为$OC = 4$，所以$x = 2$。
故线段$OE$的最小值为$2$。
19. (8分)(2024·达州中考)如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,∠A= 30°,AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D、E.
(1) 求证:AE= 2CE;
(2) 连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
(1) 求证:AE= 2CE;
(2) 连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.
答案：
（1）证明：连接 $BE$，$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AE = BE$。$\therefore \angle ABE = \angle A = 30^{\circ}$。$\therefore \angle CBE = \angle ABC - \angle ABE = 30^{\circ}$。在 $Rt\triangle BCE$ 中，$BE = 2CE$，$\therefore AE = 2CE$；
（2）解：$\triangle BCD$ 是等边三角形，理由如下：连接 $CD$。$\because DE$ 垂直平分 $AB$，$\therefore D$ 为 $AB$ 中点。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore CD = BD$。$\because \angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle BCD$ 是等边三角形。
（1）证明：连接 $BE$，$\because DE$ 是 $AB$ 的垂直平分线，$\therefore AE = BE$。$\therefore \angle ABE = \angle A = 30^{\circ}$。$\therefore \angle CBE = \angle ABC - \angle ABE = 30^{\circ}$。在 $Rt\triangle BCE$ 中，$BE = 2CE$，$\therefore AE = 2CE$；
（2）解：$\triangle BCD$ 是等边三角形，理由如下：连接 $CD$。$\because DE$ 垂直平分 $AB$，$\therefore D$ 为 $AB$ 中点。$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore CD = BD$。$\because \angle ABC = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle BCD$ 是等边三角形。
查看更多完整答案，请扫码查看
