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13. 若$ x - y = \sqrt { 3 } , x y = - \frac { 3 } { 4 } $,则$ x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = $
0
.
答案：
解：$\because x - y = \sqrt{3}$，$xy = -\frac{3}{4}$
$\therefore (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = (\sqrt{3})^2 + 4×(-\frac{3}{4}) = 3 - 3 = 0$
$\therefore x + y = 0$
$\therefore x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 0×\sqrt{3} = 0$
0
$\therefore (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = (\sqrt{3})^2 + 4×(-\frac{3}{4}) = 3 - 3 = 0$
$\therefore x + y = 0$
$\therefore x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 0×\sqrt{3} = 0$
0
14. 已知m、n同时满足$ 2 m + n = 3 与 2 m - n = 1 $,则$ 4 m ^ { 2 } - n ^ { 2 } $的值是______
3
.
答案：
解：因为$4m^2 - n^2=(2m + n)(2m - n)$，已知$2m + n = 3$，$2m - n = 1$，所以原式$=3×1=3$。
3
3
15. 给多项式$ 4 x ^ { 2 } + 9 $添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的这个单项式可以是
12x
.(填一个即可)
答案：
解：完全平方公式为$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$。
已知多项式为$4x^2 + 9$，其中$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$。
若将$4x^2$和$9$看作平方项，则中间项应为$\pm 2×2x×3 = \pm12x$。
故添加的单项式可以是$12x$（或$-12x$，或$\frac{4}{9}x^4$等，填一个即可）。
答案：12x
已知多项式为$4x^2 + 9$，其中$4x^2=(2x)^2$，$9=3^2$。
若将$4x^2$和$9$看作平方项，则中间项应为$\pm 2×2x×3 = \pm12x$。
故添加的单项式可以是$12x$（或$-12x$，或$\frac{4}{9}x^4$等，填一个即可）。
答案：12x
16. 若$ b + a = 3 $,则$ 9 - 6 a + a ^ { 2 } - b ^ { 2 } $的值为
0
.
答案：
解：$9 - 6a + a^2 - b^2$
$=(a^2 - 6a + 9) - b^2$
$=(a - 3)^2 - b^2$
$=(a - 3 + b)(a - 3 - b)$
因为$b + a = 3$，即$a + b = 3$，所以$a - 3 + b = (a + b) - 3 = 3 - 3 = 0$
则原式$=0×(a - 3 - b) = 0$
0
$=(a^2 - 6a + 9) - b^2$
$=(a - 3)^2 - b^2$
$=(a - 3 + b)(a - 3 - b)$
因为$b + a = 3$，即$a + b = 3$，所以$a - 3 + b = (a + b) - 3 = 3 - 3 = 0$
则原式$=0×(a - 3 - b) = 0$
0
17. 已知$ x + y = 10 , x y = 1 $,则代数式$ x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } $的值为
10
.
答案：
解：$x^2y + xy^2 = xy(x + y)$，
将$x + y = 10$，$xy = 1$代入上式，得：
$1×10 = 10$。
10
将$x + y = 10$，$xy = 1$代入上式，得：
$1×10 = 10$。
10
18. 已知$ a + b = 8 , a ^ { 2 } b ^ { 2 } = 4 $,则$ \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } - a b = $
28 或 36
.
答案：
解：$\because a + b = 8$，
$\therefore (a + b)^2 = 64$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 64$，
$\therefore a^2 + b^2 = 64 - 2ab$。
$\because a^2b^2 = 4$，
$\therefore (ab)^2 = 4$，
$\therefore ab = 2$或$ab = -2$。
当$ab = 2$时，
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{64 - 2ab}{2} - ab = 32 - ab - ab = 32 - 2ab = 32 - 2×2 = 28$；
当$ab = -2$时，
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = 32 - 2ab = 32 - 2×(-2) = 36$。
故答案为：28 或 36。
$\therefore (a + b)^2 = 64$，即$a^2 + 2ab + b^2 = 64$，
$\therefore a^2 + b^2 = 64 - 2ab$。
$\because a^2b^2 = 4$，
$\therefore (ab)^2 = 4$，
$\therefore ab = 2$或$ab = -2$。
当$ab = 2$时，
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = \frac{64 - 2ab}{2} - ab = 32 - ab - ab = 32 - 2ab = 32 - 2×2 = 28$；
当$ab = -2$时，
$\frac{a^2 + b^2}{2} - ab = 32 - 2ab = 32 - 2×(-2) = 36$。
故答案为：28 或 36。
19. (8分)分解因式:
(1)$ x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } $; (2)$ x ^ { 2 } - 4 x y + 4 y ^ { 2 } $.
(1)$ x ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } $; (2)$ x ^ { 2 } - 4 x y + 4 y ^ { 2 } $.
答案：
(1)解：$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x + 2y)(x - 2y)$
(2)解：$x^2 - 4xy + 4y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = (x - 2y)^2$
(1)解：$x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x + 2y)(x - 2y)$
(2)解：$x^2 - 4xy + 4y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2 = (x - 2y)^2$
20. (8分)因式分解:
(1)$ ( a ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } $; (2)$ 9 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 6 ( 2 x - 1 ) + 1 $.
(1)$ ( a ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } $; (2)$ 9 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } - 6 ( 2 x - 1 ) + 1 $.
答案：
(1)解：$(a^2 + 1)^2 - 4a^2$
$=(a^2 + 1)^2 - (2a)^2$
$=(a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 - 2a)$
$=(a + 1)^2(a - 1)^2$
(2)解：$9(2x - 1)^2 - 6(2x - 1) + 1$
$=[3(2x - 1)]^2 - 2×3(2x - 1)×1 + 1^2$
$=[3(2x - 1) - 1]^2$
$=(6x - 3 - 1)^2$
$=(6x - 4)^2$
$=[2(3x - 2)]^2$
$=4(3x - 2)^2$
(1)解：$(a^2 + 1)^2 - 4a^2$
$=(a^2 + 1)^2 - (2a)^2$
$=(a^2 + 1 + 2a)(a^2 + 1 - 2a)$
$=(a + 1)^2(a - 1)^2$
(2)解：$9(2x - 1)^2 - 6(2x - 1) + 1$
$=[3(2x - 1)]^2 - 2×3(2x - 1)×1 + 1^2$
$=[3(2x - 1) - 1]^2$
$=(6x - 3 - 1)^2$
$=(6x - 4)^2$
$=[2(3x - 2)]^2$
$=4(3x - 2)^2$
21. (6分)(2024秋·上海徐汇区校级期中)已知$ x y = 15 $,且满足$ ( x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } ) - ( x - y ) = 28 $.
(1)求$ x - y $的值;
(2)求$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } , x + y $的值.
(1)求$ x - y $的值;
(2)求$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } , x + y $的值.
答案：
(1) $\because (x^2y - xy^2) - (x - y) = 28$，
$\therefore xy(x - y) - (x - y) = 28$，
$\therefore (x - y)(xy - 1) = 28$，
$\because xy = 15$，
$\therefore (x - y)(15 - 1) = 28$，
$\therefore 14(x - y) = 28$，
$\therefore x - y = 2$；
(2) $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 2^2 + 2×15 = 4 + 30 = 34$；
$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 34 + 2×15 = 34 + 30 = 64$，
$\therefore x + y = ±8$。
(1) $\because (x^2y - xy^2) - (x - y) = 28$，
$\therefore xy(x - y) - (x - y) = 28$，
$\therefore (x - y)(xy - 1) = 28$，
$\because xy = 15$，
$\therefore (x - y)(15 - 1) = 28$，
$\therefore 14(x - y) = 28$，
$\therefore x - y = 2$；
(2) $x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = 2^2 + 2×15 = 4 + 30 = 34$；
$\because (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 34 + 2×15 = 34 + 30 = 64$，
$\therefore x + y = ±8$。
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