《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

14. (12分)解方程组:
(1)$\left\{\begin{array}{l} y= 2x+5,\enclose{circle} {1}\\ 4x-y= -7.\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $
(2)$\left\{\begin{array}{l} 4x-5y= 17,\enclose{circle} {1}\\ 4x+7y= 5.\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $

答案： 解：（1）将①代入②，得$4x - (2x + 5) = -7$。解得$x = -1$。将$x = -1$代入①，得$y = 2×(-1) + 5 = 3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 3.\end{cases}$ （2）② - ①，得$12y = -12$。解得$y = -1$。将$y = -1$代入①，得$4x + 5 = 17$。解得$x = 3$。
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = -1.\end{cases}$

15. (10分)下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程,请认真阅读并解答相应的问题:
解方程组:$\left\{\begin{array}{l} 3x-y= 4,\enclose{circle} {1}\\ 6x-3y= 10.\enclose{circle} {2}\end{array}\right. $
解:$\enclose{circle} {1}×2$,得$6x-2y= 8$.③…第一步
$\enclose{circle} {2}-\enclose{circle} {3}$,得$-y= 2$.…第二步
解得$y= -2$.…第三步
将$y= -2$代入①,得$3x-(-2)= 4$.…第四步
解得$x= 2$.…第五步
∴原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= -2.\end{array}\right. $
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫作____法,以上求解步骤中,马小虎同学从第____步开始出现错误.
(2)请写出此题正确的解答过程.

答案： 解：（1）加减消元 五 （2）①×2，得$6x - 2y = 8$。③ ② - ③，得$-y = 2$。解得$y = -2$。将$y = -2$代入①，得$3x - (-2) = 4$。解得$x = \frac{2}{3}$。
∴原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{2}{3},\\y = -2.\end{cases}$

16. (12分)已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y-6= 0,\\ x-2y+mx+4= 0.\end{array}\right. $
(1)若方程组的解满足$x+y= 0$,求m的值.
(2)无论实数m取何值,关于x,y的方程$m-2y+mx+4= 0$总有一个固定的解,请求出这个解.

答案： 解：（1）
∵方程组的解满足$x + y = 0$，
∴$\begin{cases}x + 2y = 6,\\x + y = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -6,\\y = 6.\end{cases}$把$\begin{cases}x = -6,\\y = 6\end{cases}$代入$x - 2y + mx + 4 = 0$，得$-6 - 12 - 6m + 4 = 0$，解得$m = -\frac{7}{3}$。（2）
∵无论实数$m$取何值，关于$x$，$y$的方程$m - 2y + mx + 4 = 0$总有一个固定的解，
∴方程的解与$m$的值无关。
∵$m - 2y + mx + 4 = 0$，即$(1 + x)m - 2y = -4$，
∴$1 + x = 0$，即$x = -1$，此时$y = 2$。
∴关于$x$，$y$的方程$m - 2y + mx + 4 = 0$的解为$\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$

17. (14分)我们规定,关于x,y的二元一次方程$ax+by= c$,若满足$a+b= c$,则称这个方程为“幸福”方程.例如:方程$2x+3y= 5$,其中$a= 2,b= 3,c= 5$,满足$a+b= c$,则方程$2x+3y= 5$是“幸福”方程.把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组.根据上述规定,回答下列问题.
(1)判断方程$3x+5y= 8$____“幸福”方程(填“是”或“不是”).
(2)若关于x,y的二元一次方程$kx+(k-1)y= 9$是“幸福”方程,求k的值.
(3)若$\left\{\begin{array}{l} x= p,\\ y= q\end{array}\right. $是关于x,y的“幸福”方程组$\left\{\begin{array}{l} mx+(m+1)y= n-1,\\ mx+2my= n\end{array}\right. $的解,求$4p+7q$的值.

答案： 解：（1）是 （2）
∵关于$x$，$y$的二元一次方程$kx + (k - 1)y = 9$是“幸福”方程，
∴$k + k - 1 = 9$，解得$k = 5$。（3）
∵方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = n - 1,\\mx + 2my = n\end{cases}$是“幸福”方程组，
∴$\begin{cases}m + m + 1 = n - 1,\\m + 2m = n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 2,\\n = 6.\end{cases}$
∴原方程组为$\begin{cases}2x + 3y = 5,\\2x + 4y = 6.\end{cases}$
∵$\begin{cases}x = p,\\y = q\end{cases}$是关于$x$，$y$的“幸福”方程组$\begin{cases}mx + (m + 1)y = n - 1,\\mx + 2my = n\end{cases}$的解，
∴$\begin{cases}2p + 3q = 5,①\\2p + 4q = 6.②\end{cases}$① + ②，得$4p + 7q = 11$。