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14. (10分)某商场以每件50元的价格购进一种商品,销售中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数,其图象如图所示.
(1)求每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)之间的关系式.
(2)该商场希望每天能销售30件该商品,则此时每件的销售价为多少元?
(1)求每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)之间的关系式.
(2)该商场希望每天能销售30件该商品,则此时每件的销售价为多少元?
答案：
解:
(1) 设$ m = kx + b $. 根据题意, 得$ 100 = b $, ① $ 0 = 100k + b $. ② 把①代入②, 得$ k = -1 $.
∴ 每天的销售量$ m $(件)与每件的销售价$ x $(元)之间的关系式为$ m = -x + 100(0 \leq x \leq 100) $.
(2) 当$ m = 30 $时,$ 30 = -x + 100 $, 解得$ x = 70 $.
∴ 此时每件的销售价为 70 元.
(1) 设$ m = kx + b $. 根据题意, 得$ 100 = b $, ① $ 0 = 100k + b $. ② 把①代入②, 得$ k = -1 $.
∴ 每天的销售量$ m $(件)与每件的销售价$ x $(元)之间的关系式为$ m = -x + 100(0 \leq x \leq 100) $.
(2) 当$ m = 30 $时,$ 30 = -x + 100 $, 解得$ x = 70 $.
∴ 此时每件的销售价为 70 元.
15. (10分)已知一次函数$y= ax-a+1$(a为常数,且$a＜0$).
(1)若点$(-\frac {1}{2},3)$在函数图象上,求a的值.
(2)当$-1≤x≤2$时,函数有最大值2,请求出a的值.
(1)若点$(-\frac {1}{2},3)$在函数图象上,求a的值.
(2)当$-1≤x≤2$时,函数有最大值2,请求出a的值.
答案：
解:
(1) 把$ (-\frac{1}{2}, 3) $代入$ y = ax - a + 1 $, 得$ -\frac{1}{2}a - a + 1 = 3 $, 解得$ a = -\frac{4}{3} $.
(2)
∵ $ a ＜ 0 $,
∴ $ y $随$ x $的增大而减小.
∴ 当$ x = -1 $时,$ y $有最大值 2.
∴ $ 2 = -a - a + 1 $, 解得$ a = -\frac{1}{2} $.
(1) 把$ (-\frac{1}{2}, 3) $代入$ y = ax - a + 1 $, 得$ -\frac{1}{2}a - a + 1 = 3 $, 解得$ a = -\frac{4}{3} $.
(2)
∵ $ a ＜ 0 $,
∴ $ y $随$ x $的增大而减小.
∴ 当$ x = -1 $时,$ y $有最大值 2.
∴ $ 2 = -a - a + 1 $, 解得$ a = -\frac{1}{2} $.
16. (13分)甲、乙两辆车先后从A地出发到B地,甲车出发1h后,乙车才出发,如图所示的$l_{1}和l_{2}$表示甲、乙两车离出发地的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的关系.
(1)表示乙车离出发地的距离y与乙车行驶时间x之间关系的是____(填“$l_{1}$”或“$l_{2}$”).
(2)试分别确定甲、乙两车离出发地的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的关系式.
(3)已知A地和B地间距离A地200km处有一个旅游小镇,乙车能否在到达旅游小镇前追上甲车?请说明理由.
(1)表示乙车离出发地的距离y与乙车行驶时间x之间关系的是____(填“$l_{1}$”或“$l_{2}$”).
(2)试分别确定甲、乙两车离出发地的距离y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的关系式.
(3)已知A地和B地间距离A地200km处有一个旅游小镇,乙车能否在到达旅游小镇前追上甲车?请说明理由.
答案：
解:
(1) $ l_2 $
(2) 甲车的速度为$ \frac{180 - 60}{2} = 60(km/h) $, 乙车的速度为$ \frac{90}{1} = 90(km/h) $.
∴ 甲车:$ y = 60x + 60 $; 乙车:$ y = 90x $.
(3) 由图可知$ l_1 $与$ l_2 $交点的纵坐标小于 200 km, 所以乙车能追上甲车.
(1) $ l_2 $
(2) 甲车的速度为$ \frac{180 - 60}{2} = 60(km/h) $, 乙车的速度为$ \frac{90}{1} = 90(km/h) $.
∴ 甲车:$ y = 60x + 60 $; 乙车:$ y = 90x $.
(3) 由图可知$ l_1 $与$ l_2 $交点的纵坐标小于 200 km, 所以乙车能追上甲车.
17. (15分)如图,直线$l_{1}:y= -x+2$与x轴、y轴分别交于A,B两点,$P(m,3)$为直线AB上一点,另一直线$l_{2}:y= kx+4$经过点P.
(1)求点A,B的坐标.
(2)求点P的坐标和k的值.
(3)若C是直线$l_{2}$与x轴的交点,Q是直线$l_{1}$上一点,当$\triangle CPQ$的面积等于3
时,求出点Q的坐标.
(1)求点A,B的坐标.
(2)求点P的坐标和k的值.
(3)若C是直线$l_{2}$与x轴的交点,Q是直线$l_{1}$上一点,当$\triangle CPQ$的面积等于3
时,求出点Q的坐标.
答案：
解:
(1) 在$ y = -x + 2 $中, 令$ x = 0 $, 得$ y = 2 $; 令$ y = 0 $, 得$ x = 2 $.
∴ $ A(2, 0) $, $ B(0, 2) $.
(2)
∵ 点$ P(m, 3) $为直线$ AB $上一点,
∴ $ -m + 2 = 3 $, 解得$ m = -1 $.
∴ 点$ P $的坐标为$ (-1, 3) $. 将点$ P(-1, 3) $代入$ y = kx + 4 $, 得$ 3 = -k + 4 $, 解得$ k = 1 $.
(3)
∵ 直线$ y = x + 4 $与$ x $轴的交点为$ C $,
∴ $ C(-4, 0) $.
∴ $ AC = 2 - (-4) = 6 $. 设点$ Q $的坐标为$ (n, -n + 2) $. 则$ S_{\triangle CPQ} = \frac{1}{2}AC \cdot |y_P - y_Q| = \frac{1}{2} \times 6 \times |3 - (-n + 2)| $.
∵ $ S_{\triangle CPQ} = 3 $,
∴ $ \frac{1}{2} \times 6 \times |3 - (-n + 2)| = 3 $, 解得$ n = 0 $或$ n = -2 $. 当$ n = 0 $时,$ -n + 2 = 2 $; 当$ n = -2 $时,$ -n + 2 = 4 $.
∴ 点$ Q $的坐标为$ (0, 2) $或$ (-2, 4) $.
(1) 在$ y = -x + 2 $中, 令$ x = 0 $, 得$ y = 2 $; 令$ y = 0 $, 得$ x = 2 $.
∴ $ A(2, 0) $, $ B(0, 2) $.
(2)
∵ 点$ P(m, 3) $为直线$ AB $上一点,
∴ $ -m + 2 = 3 $, 解得$ m = -1 $.
∴ 点$ P $的坐标为$ (-1, 3) $. 将点$ P(-1, 3) $代入$ y = kx + 4 $, 得$ 3 = -k + 4 $, 解得$ k = 1 $.
(3)
∵ 直线$ y = x + 4 $与$ x $轴的交点为$ C $,
∴ $ C(-4, 0) $.
∴ $ AC = 2 - (-4) = 6 $. 设点$ Q $的坐标为$ (n, -n + 2) $. 则$ S_{\triangle CPQ} = \frac{1}{2}AC \cdot |y_P - y_Q| = \frac{1}{2} \times 6 \times |3 - (-n + 2)| $.
∵ $ S_{\triangle CPQ} = 3 $,
∴ $ \frac{1}{2} \times 6 \times |3 - (-n + 2)| = 3 $, 解得$ n = 0 $或$ n = -2 $. 当$ n = 0 $时,$ -n + 2 = 2 $; 当$ n = -2 $时,$ -n + 2 = 4 $.
∴ 点$ Q $的坐标为$ (0, 2) $或$ (-2, 4) $.
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