《2025年53精准练七年级数学下册北师大版山西专版》

8. 阅读下面的材料：
材料一：比较$3^{22}$和$4^{11}$的大小.
解：因为$4^{11}=(2^{2})^{11}=2^{22}$，且$3＞2$，所以$3^{22}＞2^{22}$，即$3^{22}＞4^{11}$.
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小来比较两个幂的大小
材料二：比较$2^{8}$和$8^{2}$的大小.
解：因为$8^{2}=(2^{3})^{2}=2^{6}$，且$8＞6$，所以$2^{8}＞2^{6}$，即$2^{8}＞8^{2}$.
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小来比较两个幂的大小
解决下列问题：
(1)比较$3^{44}$，$4^{33}$，$5^{22}$的大小；
(2)比较$2^{75}$，$4^{50}$，$8^{26}$的大小.

答案： 解：
(1)$3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11}$，$5^{22}=(5^{2})^{11}=25^{11}$，
因为$81＞64＞25$，
所以$81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，
即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$.
(2)$4^{50}=(2^{2})^{50}=2^{100}$，
$8^{26}=(2^{3})^{26}=2^{78}$，
因为$75＜78＜100$，
所以$2^{75}＜2^{78}＜2^{100}$，
即$2^{75}＜8^{26}＜4^{50}$.

9. 阅读下列材料：
若$a^{3}=2,b^{5}=3$，比较$a,b$的大小.
解：因为$a^{15}=(a^{3})^{5}=2^{5}=32$，$b^{15}=(b^{5})^{3}=3^{3}=27$，$32＞27$，所以$a^{15}＞b^{15}$，所以$a＞b$.
依照上述方法解答下列问题：已知$x^{5}=2,y^{7}=3$，试比较$x$与$y$的大小.

答案： 解：因为$x^{5}=2$，$y^{7}=3$，
所以$x^{35}=(x^{5})^{7}=2^{7}=128$，
$y^{35}=(y^{7})^{5}=3^{5}=243$，
因为$128＜243$，所以$x^{35}＜y^{35}$，
所以$x＜y$.

10. [2024苏州期中]阅读材料：$3^{1}$的末位数字是3，$3^{2}$的末位数字是9，$3^{3}$的末位数字是7，$3^{4}$的末位数字是1，$3^{5}$的末位数字是3，……
观察规律：$3^{4n + 1}=(3^{4})^{n}\times3$，$(n为自然数)$
因为$3^{4}$的末位数字是1，所以$(3^{4})^{n}$的末位数字是1，所以$(3^{4})^{n}\times3$的末位数字是3.
同理可知，$3^{4n + 2}$的末位数字是9，$3^{4n + 3}$的末位数字是7.
试说明：$12^{2024}+37^{2018}$能被5整除.

答案： 解：因为$12^{1}$的末位数字是$2$，$12^{2}$的末位数字是$4$，$12^{3}$的末位数字是$8$，$12^{4}$的末位数字是$6$，$12^{5}$的末位数字是$2$，$\cdots\cdots$，
所以$12^{4n + 1}$（$n$为正整数）的末位数字是$2$，$12^{4n + 2}$的末位数字是$4$，$12^{4n + 3}$的末位数字是$8$，$12^{4n}$的末位数字是$6$，
所以$12^{2024}=12^{4\times506}$的末位数字是$6$.
同理可得，
$37^{4n + 1}$的末位数字是$7$，$37^{4n + 2}$的末位数字是$9$，$37^{4n + 3}$的末位数字是$3$，$37^{4n}$的末位数字是$1$，
所以$37^{2018}=37^{4\times504 + 2}$的末位数字是$9$，
所以$12^{2024}+37^{2018}$的末位数字是$5$，
所以$12^{2024}+37^{2018}$能被$5$整除.

11. 规定两个非零数$a$，$b$之间的一种新运算：如果$a^{m}=b$，那么$a※b = m$.例如：因为$5^{2}=25$，所以$5※25 = 2$；因为$5^{0}=1$，所以$5※1 = 0$.
(1)根据上述规定填空：$2※8=$________，$3※\dfrac{1}{27}=$________；
(2)按以上规定，请说明等式$8※9 + 8※10 = 8※90$成立.

答案： 解：
(1)$3$；$-3$.
(2)设$8※9 = x$，$8※10 = y$，则$8^{x}=9$，$8^{y}=10$，
所以$8^{x}\times8^{y}=8^{x + y}=90$，
所以$8※90 = x + y$，
所以$8※9 + 8※10 = 8※90$.