《2025年53精准练七年级数学下册北师大版山西专版》

11. [2024太原期中]通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式.例如，由图1可得等式(a + 2b)² = a² + 4ab + 4b².小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为 （ ）
   

A. b(a + 2b)=ab + 2b²
B. a(a + 2b)=a² + 2ab
C. (a + b)² = a² + 2ab + b²
D. (a + 2b)(a + b)=a² + 3ab + 2b²

答案： D

12. [数形结合]如图所示的大正方形ABCD由四个完全相同的长方形和中间的小正方形组成，若x² + 2x = 34，则根据面积关系可得正方形ABCD的面积为 （ ）


A. 144
B. 140
C. 137
D. 136

答案： B

13. 代数式ac(bc + 1) - c(3abc + b + a)+2abc² + 3bc的值 （ ）
A. 只与a，b有关
B. 只与a，c有关
C. 只与b，c有关
D. 与a，b，c都有关

答案： C

14. 若计算(2x + 3y - 4)(2x + ay + b)得到的多项式不含x，y的一次项，其中a，b是常数，则a - b的值为________.

答案： -1

15. [整体思想]已知2a² - a - 3 = 0，则(2a + 3)(2a - 3)+(2a - 1)² =________.

答案： 4

16. 如图，综合与实践课上，小青将长为4，宽为2的长方形硬纸片的四个角处各剪去边长为x的小正方形，再按折痕(虚线)折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子.根据图中信息，该长方体盒子的容积可表示为________________.

答案： $4x^{3}-12x^{2}+8x$

17. 先化简，再求值：(x² + xy + y²)(x - y)，其中x = 1，y = -2.

答案： 解：原式$=x^{3}+x^{2}y+xy^{2}-x^{2}y-xy^{2}-y^{3}=x^{3}-y^{3}$。
当$x = 1,y = -2$时，
原式$=1^{3}-(-2)^{3}=1-(-8)=9$。

18. 小明在计算某个多项式乘-3x²时，因抄错运算符号，写成了加-3x²，结果算成x² - 4x + 1，那么原题的正确计算结果是什么?

答案： 解：该多项式为$x^{2}-4x + 1-(-3x^{2})$
$=4x^{2}-4x + 1$。
故原题的计算结果为$(4x^{2}-4x + 1)\cdot(-3x^{2})=-12x^{4}+12x^{3}-3x^{2}$。

19. 数学兴趣小组发现：
(x - 1)(x + 1)=x² - 1，
(x - 1)(x² + x + 1)=x³ - 1，
(x - 1)(x³ + x² + x + 1)=x⁴ - 1，
……
(x - 1)(xⁿ + xⁿ⁻¹ + … + x + 1)=xⁿ⁺¹ - 1.
利用你发现的规律计算：6²⁰²⁴ + 6²⁰²³ + 6²⁰²² + 6²⁰²¹ + 6²⁰²⁰ + 6²⁰¹⁹ + … + 6 + 1 =__________.

答案： $\frac{6^{2025}-1}{5}$
详解：由题得$(6 - 1)\times(6^{2024}+6^{2023}+\cdots+6 + 1)=6^{2025}-1$，
$6^{2024}+6^{2023}+\cdots+6 + 1=(6^{2025}-1)\div5=\frac{6^{2025}-1}{5}$。