《2025年53精准练七年级数学下册北师大版山西专版》

10. [2024忻州二模]如图，直尺上摆放了一把含30°角的直角三角尺，当∠ABC = 50°时，∠α的度数为（ ）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
　　　　

答案： D

11. 如图，l₁//l₂，若∠1 = x°，∠2 = y°，则∠3 = ________°.(用含有x，y的式子表示)
　　　　

答案：
(x + y - 180)
详解：如图，过M点作MF//l₁，

因为l₁//l₂，
所以l₁//l₂//MF，
所以∠1 + ∠BMF = 180°，
∠2 + ∠CMF = 180°，
因为∠1 = x°，∠2 = y°，
所以∠BMF = 180° - x°，
∠CMF = 180° - y°，
所以∠3 = 180° - ∠BMC
= 180° - ∠BMF - ∠CMF
= 180° - (180° - x°) - (180° - y°)
= (x + y - 180)°.

12. 如图，射线AM//BN，连接端点A和B.点P是射线AM上不与点A重合的一个动点，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D.
(1)若∠A = 60°，求∠CBD的度数.
(2)在点P运动的过程中，∠APB与∠ADB的度数的比值是否发生变化？若不变，求出∠APB:∠ADB的值；若变化，请说明理由.
(3)若∠A = β，当∠ACB = ∠ABD时，求∠ABC的度数.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)因为AM//BN，
所以∠ABN + ∠A = 180°，
所以∠ABN = 180° - 60° = 120°，
所以∠ABP + ∠PBN = 120°，
因为BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
所以∠ABP = 2∠CBP，
∠PBN = 2∠DBP，
所以2∠CBP + 2∠DBP = 120°，
所以∠CBD = ∠CBP + ∠DBP = 60°.
(2)不变，∠APB : ∠ADB = 2.
因为AM//BN，
所以∠APB = ∠PBN，
∠ADB = ∠DBN，
因为BD平分∠PBN，
所以∠PBN = 2∠DBN，
所以∠APB : ∠ADB = 2.
(3)如图，

因为AM//BN，
所以∠ACB = ∠CBN，
∠A + ∠ABN = 180°.
当∠ACB = ∠ABD时，
∠ABD = ∠CBN，
所以∠1 + ∠CBD = ∠CBD + ∠2，
所以∠1 = ∠2，
由
(1)可知∠1 = ∠3，∠2 = ∠4，
所以∠1 = $\frac{1}{4}$∠ABN = $\frac{1}{4}$(180° - β) = 45° - $\frac{1}{4}$β，
即∠ABC = 45° - $\frac{1}{4}$β.

13. [推理能力·2024朔州期末]综合与实践
数学课上，老师提出问题：如图，钉板上存在三条互相平行的直线AB，CD，EF，图1中弹性皮筋两端点用钉子固定在点M，N处，拉住皮筋中部的一点至点O处固定，点O在直线CD上，∠MON = 60°.若∠1 = 40°，求∠2的度数.
　　　
数学思考：(1)完成老师提出的问题.
深入探究：(2)老师让同学们在图1的基础上，通过移动点O的位置或添加皮筋的方式增设条件来提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：如图2，在图1的基础上，将另一根弹性皮筋的一端固定在点O处，另一端用钉子固定在点P处.若∠PON = 45°，求∠1 - ∠3的值.
②“智慧小组”提出问题：如图3，在OM与AB的交点处用钉子固定点G，在ON与EF的交点处用钉子固定点H，将点O移动到点Q处(点Q在直线CD上).若∠GQH = 70°，请直接写出∠MGQ + ∠QHN的值.

答案： 解：
(1)因为AB//CD，
所以∠MOD = ∠1 = 40°，
所以∠DON = ∠MON - ∠MOD = 20°，
因为CD//EF，
所以∠2 = ∠DON = 20°.
(2)①因为∠MON = 60°，∠PON = 45°，
所以∠MOP = ∠MON - ∠PON = 15°，
因为AB//CD，
所以∠POD = ∠3，∠1 = ∠MOD，
所以∠1 - ∠3 = ∠MOD - ∠POD = ∠MOP = 15°.
②∠MGQ + ∠QHN = 130°.
详解：因为AB//CD，
所以∠MGB = ∠MOD，
∠BGQ = ∠GQO，
所以∠MGQ = ∠MGB + ∠BGQ = ∠MOD + ∠GQO，
因为CD//EF，
所以∠DOH = ∠FHN，
∠OQH = ∠QHF，
所以∠QHN = ∠QHF + ∠FHN = ∠OQH + ∠QOH，
所以∠MGQ + ∠QHN = ∠MOD + ∠GQO + ∠OQH + ∠QOH = ∠MOH + ∠GQH = 60° + 70° = 130°.