《2025年53精准练七年级数学下册北师大版山西专版》

15. [2024朔州期中]如图，直线AB，BE相交于点B，直线CD，BE相交于点E，BE⊥DF于点P，DF与AB交于点F。连接CF，∠1=∠C。
(1)若∠2=56°，请求出∠B的度数；
(2)若AB//CD，试说明：∠2+∠D=90°。

答案： 解：
(1)因为$\angle1=\angle C$，所以$BE// CF$，所以$\angle B=\angle2 = 56^{\circ}$.
(2)因为$BE\perp DF$，所以$\angle DPE = 90^{\circ}$，因为$BE// CF$，所以$\angle CFD=\angle DPE = 90^{\circ}$，所以$\angle2+\angle BFD = 180^{\circ}-\angle CFD = 90^{\circ}$.因为$AB// CD$，所以$\angle BFD=\angle D$，所以$\angle2+\angle D = 90^{\circ}$.

16. [2024太原师范学院附中月考]综合与实践
【问题情境】数学课上，老师提出了这样一道题：
如图1，已知AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，EP⊥FP，∠1 = 60°.求∠2的度数.
同学们经过小组讨论后，各小组用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
勤奋小组：“如图2，通过作平行线，发现∠1 = ∠3，∠2 = ∠4，由EP⊥FP，可以求出∠2的度数.”
创新小组：“如图3，作平行线，经过推理，得∠2 = ∠3 = ∠4，也能求出∠2的度数.”
拼搏小组：“如图4，也能求出∠2的度数.”
【解决问题】
(1)请你根据勤奋小组的同学所画的图形(图2)，描述辅助线的作法：____________________；
(2)这三种解法的共同点是过一点作平行线来解决问题，三种解题思路都利用了平行线的“等角转化”的功能，它体现了_________数学思想；(从“分类讨论”“数形结合”“转化”中选一个)
(3)请你从创新小组和拼搏小组的想法中选择一种求出∠2的度数；
【拓展应用】
请你参考这三种方法，解决下面的问题：
(4)如图5，AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD，∠PEF = ∠PDF，若∠EPD = α，则∠CFE - 2∠PEF = ____________.(用含α的式子表示)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　        

答案：
解:
(1) 过点P作PQ//AB(或CD).
(2) 转化.
(3) 选择创新小组的想法.
如图，过点E作EQ//PF，EQ交CD于Q，

因为EP⊥FP，
所以∠PEQ = 90°，
因为EQ//PF，AB//CD，
所以∠2 = ∠3，∠4 = ∠3，
所以∠2 = ∠4.
因为∠PEQ = 90°，
所以∠1 + ∠4 = 90°，
所以∠1 + ∠2 = 90°，
因为∠1 = 60°，
所以∠2 = 90° - 60° = 30°.
选择拼搏小组的想法.
如图，过点F作FQ//PE，FQ交AB于Q，

因为EP⊥FP，
所以∠PFQ = 90°，
因为FQ//PE，AB//CD，
所以∠1 = ∠3，∠4 = ∠3，
所以∠1 = ∠4，
因为∠PFQ = 90°，
所以∠2 + ∠4 = 90°，
所以∠1 + ∠2 = 90°，
因为∠1 = 60°，
所以∠2 = 90° - 60° = 30°.
(4) 180° - α.
详解: 设∠CFE = x，
∠PEF = ∠PDF = y，
如图，过点P作PQ//AB，

则∠BEP + ∠EPQ = 180°，
∠CFE = ∠FEB = x，
因为AB//CD，PQ//AB，
所以PQ//CD，
所以∠PDF = ∠DPQ，
所以∠DPQ = y，
由∠CFE = ∠FEB = x = ∠FEP + ∠BEP，
得x = y + (180° - α + y)，
所以x - 2y = 180° - α，
即∠CFE - 2∠PEF = 180° - α.