《2025年考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

6. 代数推理 已知关于$x$的一元二次方程$\frac{1}{4}x^2 + bx + c = 0$.
（1）当$c = 2b - 1$时，求证：方程一定有两个实数根；
（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为$b$，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为$c$，利用列表法或者画树形图，求$b$，$c$的值使方程$\frac{1}{4}x^2 + bx + c = 0$有两个相等的实数根的概率.

答案：
[解析]
(1)证明：
∵ $\Delta = b^2 - 4×\frac{1}{4}c = b^2 - c$，
∴ 将 $c = 2b - 1$ 代入，得 $\Delta = b^2 - (2b - 1)=b^2 - 2b + 1=(b - 1)^2\geq0$，
∴ 方程一定有两个实数根；
(2)画树形图如下图所示。

∵ 共有 12 种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，$\Delta = b^2 - 4×\frac{1}{4}c = b^2 - c = 0$，
∴ $b^2 = c$，
满足条件的结果有 $(1,1)$ 和 $(2,4)$，共 2 种，
∴ 概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

7. 从1，2，3三个数中取出一个数作为点$P$的横坐标，从4，5，6，7四个数中取出一个数作为点$P$的纵坐标，则点$P$落在直线$y = -x + 6$上的概率是（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{6}$

答案：
D [解析] 根据题意画图如下：

共有 12 种等可能的结果，其中点 $P$ 落在直线 $y = - x + 6$ 上的有 2 种，则点 $P$ 落在直线 $y = - x + 6$ 上的概率是 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。

8. 在-2，-3，4这三个数中任选2个数分别作为点$P$的横坐标和纵坐标.
（1）可得到的点的个数为______；
（2）求过点$P$的正比例函数图像经过第二、四象限的概率；
（3）求过点$P$的正比例函数中，函数$y$随自变量$x$的增大而增大的概率.

答案：
[解析]
(1)6 提示：画树形图如下图所示。

所得到的 6 个点分别为 $P_1(-2,-3)$，$P_2(-2,4)$，$P_3(-3,-2)$，$P_4(-3,4)$，$P_5(4,-2)$，$P_6(4,-3)$；
(2)
∵ 满足条件的点 $P$ 有 4 个，
∴ $P(\text{经过第二、四象限})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；
(3)
∵ 过点 $P$ 得正比例函数中，函数 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而增大的有 2 个，
∴ 过点 $P$ 的正比例函数中，函数 $y$ 随自变量 $x$ 的增大而增大的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

9. 新定义 现有一个不透明袋子装有5个分别标注-3，-1，0，1，2的小球，这些小球除标注数字不同外其他都相同，将球搅匀后，某数学课外学习小组进行摸球试验：
（1）从袋中任意摸出一个小球，则摸到小球上的数是非负数的概率是______；
（2）甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从中任意摸出一个小球，把其上面的数记作$x$值，然后乙再猜这个小球上的数字记作$y$，如果$x$，$y$满足$|x - y| \leq 1$，那么称甲、乙两人“心心相印”，请用列表法或画树形图法求两人“心心相印”的概率.

答案： [解析]
(1)$\frac{3}{5}$ 提示：
∵ 共有 5 个球，分别标有数字 $-3$，$-1$，0，1，2，其中非负数有 3 个，
∴ 摸到小球上的数是非负数的概率是 $\frac{3}{5}$；
(2)列表如下：
| $y$\\(x$ | -3 | -1 | 0 | 1 | 2 || ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- || -3 | $(-3,-3)$ | $(-3,-1)$ | $(-3,0)$ | $(-3,1)$ | $(-3,2)$ || -1 | $(-1,-3)$ | $(-1,-1)$ | $(-1,0)$ | $(-1,1)$ | $(-1,2)$ || 0 | $(0,-3)$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ | $(0,2)$ || 1 | $(1,-3)$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ | $(1,2)$ || 2 | $(2,-3)$ | $(2,-1)$ | $(2,0)$ | $(2,1)$ | $(2,2)$ |由表格可知共有 25 种等可能结果，其中满足 $|x - y|\leq1$ 的结果共有 11 种，$P(\text{甲、乙两人“心心相印”})=\frac{11}{25}$。