《2025年考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

1. 如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD，BD，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点C，若∠C=40°，则∠B的度数为( )

A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°

答案： C [解析] $\because CD$ 是 $\odot O$ 的切线，
$\therefore \angle CDO = 90^{\circ}$，
$\because \angle C = 40^{\circ}$，$\therefore \angle COD = 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\frac{1}{2}\angle COD = 25^{\circ}$。

2. 教材P9,T1·练习变式 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=2√3，∠APO=30°，则⊙O的半径为( )


A. 1
B. √3
C. 2
D. 4

答案： C [解析] 在题图中连接 $OA$，
$\because PA$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $A$，
$\therefore OA\perp PA$，在直角三角形 $OAP$ 中，
$PA = 2\sqrt{3}$，$\angle APO = 30^{\circ}$，
$\therefore OA = PA\times\tan\angle APO = 2$。

3. 双切线问题 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧⌢AB上的一个动点，若∠P=40°，则∠ACB等于( )

A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°

答案：
C [解析] 如图，连接 $OA$，$OB$，
$\because PA$，$PB$ 分别与 $\odot O$ 相切于 $A$，$B$ 两点，$\therefore OA\perp PA$，$OB\perp PB$，
$\therefore \angle OAP=\angle OBP = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\angle P = 180^{\circ}-40^{\circ}=140^{\circ}$，$\therefore \angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\times140^{\circ}=70^{\circ}$。

4. 教材P10,AT1·图片变式 如图，两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若AB=6，则圆环的面积为_______.

答案：
$9\pi$ [解析] 如图，连接 $OA$，$OC$。
$\because$ 弦 $AB$ 与小圆相切，$\therefore OC\perp AB$。
$\therefore C$ 为 $AB$ 的中点，$\therefore AC = BC=\frac{1}{2}AB = 3$。
在 $Rt\triangle AOC$ 中，根据勾股定理，得 $OA^{2}-OC^{2}=AC^{2}=9$，则圆环的面积为 $\pi OA^{2}-\pi OC^{2}=\pi(OA^{2}-OC^{2})=9\pi$。

5. 如图，点A，C，D在⊙O上，四边形OACD是平行四边形，连接OC并延长交⊙O过点A的切线于点B，则∠B=_______.

答案： $30^{\circ}$ [解析] $\because$ 四边形 $OACD$ 是平行四边形，$\therefore OD = AC$。又 $\because OA = OD$，$OA = OC$，$\therefore OA = AC = OC$，$\therefore \triangle OAC$ 是等边三角形，$\therefore \angle COA = 60^{\circ}$。
$\because AB$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore \angle OAB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle B = 90^{\circ}-\angle COA = 30^{\circ}$。

6. 下列说法中，不正确的是( )
A. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B. 经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C. 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D. 垂直于半径的直线是圆的切线

答案： D [解析] D. 垂直于半径的直线可能是圆的切线也有可能与圆相交，故本选项说法是不正确的。

7. 教材P10,AT3·习题变式 如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是( )

A. OA²+PA²=OP²
B. PA⊥OA
C. ∠P=30°，∠O=60°
D. OP=2OA

答案： D [解析] $\because OA^{2}+PA^{2}=OP^{2}$，$\therefore \triangle OAP$ 为直角三角形，$\therefore OA\perp PA$，$\because OA$ 为 $\odot O$ 的半径，$\therefore PA$ 为 $\odot O$ 的切线，$\therefore A$，$B$ 选项不符合题意；$\because \angle P = 30^{\circ}$，$\angle O = 60^{\circ}$，$\therefore \angle OAP = 90^{\circ}$，$\therefore OA\perp PA$，$\because OA$ 为 $\odot O$ 的半径，$\therefore PA$ 为 $\odot O$ 的切线，$\therefore C$ 选项不符合题意；$\because OP = 2OA$ 不能确定 $\angle OAP = 90^{\circ}$，$\therefore D$ 选项符合题意。

8. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，DE⊥AB于点D，交BC于点F，要使CE为半圆O的切线，需添加的一个条件是____________.(补充一个即可)

答案：
$\angle ECF=\angle EFC$（答案不唯一） [解析] 如图，连接 $OC$，$\because OC = OB$，
$\therefore \angle OCB=\angle OBC$，
$\because DE\perp AB$，$\therefore \angle BDF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle B+\angle DFB = 90^{\circ}$，
$\because \angle EFC=\angle BFD$，$\therefore \angle B+\angle EFC = 90^{\circ}$，
$\because \angle ECF=\angle EFC$，$\therefore \angle OCB+\angle ECF = 90^{\circ}$，$\therefore CE$ 是 $\odot O$ 的切线。

9. 推理能力 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，E为BC的中点，连接DE.
求证：DE是⊙O的切线.

答案：
[解析] 如图，连接 $OD$，$CD$，$\because OC = OD$，
$\therefore \angle OCD=\angle ODC$，$\because AC$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle ADC=\angle CDB = 90^{\circ}$，
$\because E$ 为 $BC$ 的中点，$\therefore DE = CE$，
$\therefore \angle ECD=\angle EDC$，
$\therefore \angle OCD+\angle ECD=\angle ODC+\angle EDC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle ODE=\angle ACB = 90^{\circ}$，
即 $OD\perp DE$，又 $\because$ 点 $D$ 在 $\odot O$ 上，$\therefore DE$ 是 $\odot O$ 的切线。