《2025年考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

22. (7分)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连接AD，BC，若∠DAB = 50°，∠CBA = 70°，OA = 2，求OP的长.

答案：
[解析]
(1)如图，连接 OC，OD，
∴OC = OD.
∵PD，PC 是⊙O 的切线，
∴∠ODP = ∠OCP = 90°.
在 Rt△ODP 和 Rt△OCP 中，
$\begin{cases}OD = OC\\OP = OP\end{cases}$，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，
∴∠DOP = ∠COP.
∵OD = OC，
∴OP⊥CD；

(2)如图，
∵OA = OD = OC = OB = 2，
∴∠ADO = ∠DAO = 50°，
∠BCO = ∠CBO = 70°，
∴∠AOD = 180° - 50°×2 = 80°，
∠BOC = 180° - 70°×2 = 40°，
∴∠COD = 180° - 80° - 40° = 60°.
∵OD = OC，
∴△COD 是等边三角形，
由
(1)知，∠DOP = ∠COP = 30°，
在 Rt△ODP 中，
OP=$\frac{OD}{\cos30^{\circ}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

23. (7分)如图，⊙O半径为4 cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1 cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ.设运动时间为t s.
(1)求证：四边形PEQB为平行四边形；
(2)填空：
①当t =______时，四边形PBQE为菱形；
②当t =______时，四边形PBQE为矩形.

答案： [解析]
(1)
∵正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，
∴易得 AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4 cm，∠A = ∠ABC = ∠C = ∠D = ∠DEF = ∠F，
∵点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1 cm/s 的速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，
∴AP = DQ = t cm，PF = QC = (4 - t) cm，

24. (8分)如图，在直线AB上，取线段AB = 36，以线段AB为直径作半圆O，点C在半圆上，且tan∠AOC = $\frac{3}{4}$，在半圆上任取一点D，且能过点D作直线l//OC交直线AB于点E，连接OD.
(1)若半圆O上一段$\overset{\frown}{BD}$长为9π，求∠BOD的度数及OE的长度；
(2)求OE的最大值，并指出此时直线l与半圆O的位置关系；
(3)若线段DE的长度为15，直接写出这时OE的长度.

答案：