《2025年考点集训与满分备考九年级数学下册冀教版》

31. 将抛物线$y = x^{2}-2x + 3$向左平移$2$个单位长度，所得抛物线为__________.

答案： y=(x+1)²+2　　[解析]将抛物线y=x²−2x+3=(x−1)²+2向左平移2个单位长度得到抛物线y=(x+1)²+2.

32. 已知抛物线$y=-x^{2}+2x + 8$与$x$轴交于点$A$，$B$（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$.
(1)求点$B$，$C$的坐标；
(2)设点$C'$与点$C$关于该抛物线的对称轴对称.在$y$轴上是否存在点$P$，使$\triangle PCC'$与$\triangle POB$相似，且$PC$与$PO$是对应边？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： [解析]
(1)
∵y=−x²+2x+8,取x=0,得y=8,
∴C(0,8),取y=0,得−x²+2x+8=0,解得x=−2,x2=4，.B(4,0);
(2)存在点P,由
(1)易得CC'=2,0B=
　4,∠POB=∠PCC'=90°,故由题易得△POB∽△PCC'.设P(O,y),若y＜0,则PC＞PO,与$\frac{PC}{PO}$=$\frac{CC'}{OB}$≤$\frac{1}{2}$矛盾，不合题意，舍去，若y＞0,
∵$\frac{PC}{PO}$=$\frac{CC'}{OB}$,即$\frac{PC}{CC'}$=$\frac{PO}{OB}$'..⊥−28⊥=x4,解得y1=
　16,y=$\frac{16}{3}$,..P(0,16)或P(0,$\frac{16}{3}$).

33. 已知抛物线$y = ax^{2}-2ax + a^{2}-2a(a\neq0)$与$y$轴交于点$A$，顶点为$B$.
(1)若抛物线过点$(1,4)$，求抛物线表达式；
(2)设点$A$的纵坐标为$y_{A}$，用含$a$的代数式表示$y_{A}$，求出$y_{A}$的最小值；
(3)若$a＞0$，随着$a$增大点$A$上升而点$B$下降，求$a$的取值范围.

答案： [解析]
(1)把(1,4)代入y=ax²−2ax+a²−2a得4=a−2a+α²−2a,解得a=−1,a=4.
∴抛物线表达式为y=−x²+2x+3或y=4x²−8x+8;
(2)把x=0代人y=ax²−2ax+a²−2a,即y4=a²−2a=(a−1)²−1,
　..y4的最小值为−1;
(3)y=ax²−2ax+a²−2a=a(x−1)²+a²−3a,yA=a²−2a=(a−1)²−1,
　yn=a²−3a=(a−$\frac{3}{2}$/2−$\frac{9}{4}$,
∴当a＞1时,随着a增大点A上升;当a∝1.5时，随着a增大点B下降....当1＜a＜1.5时，随着a增大点
A上升而点B下降.

34. 如图，抛物线$y=-x^{2}+2x + c$与$x$轴正半轴，$y$轴正半轴分别交于点$A$，$B$，且$OA = OB$，点$G$为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式及点$G$的坐标；
(2)点$M$，$N$为抛物线上两点(点$M$在点$N$的左侧)，且到对称轴的距离分别为$3$个单位长度和$5$个单位长度，点$Q$为抛物线上点$M$，$N$之间(含点$M$，$N$)的一个动点，求点$Q$的纵坐标$y_{Q}$的取值范围.

答案： [解析]
(1)
∵抛物线y=−x²+2x+c与y轴正半轴交于点B,
∴点B(0,c),c＞0.
∵OA=OB=c,...点A(c,0),...0=−c²+2c+c,..c=3或0(舍去),
∴抛物线表达式为y=−x²+2x+3,
∵y=−x²+2x+3=−(x−1)²²+4,
∴点G的坐标为(1,4);
(2)y=−x²+2x+3=−(x−1)²+4,
∴对称轴为直线x=1,
∵点M,N为抛物线上两点(点M 在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长
度,
∴点M的横坐标为−2或4,点N 的横坐标为6,
∴点M坐标为(−2,−5)
　或(4,−5),点N坐标为(6,−21),
∵点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点，
　.−21≤yo≤−5或−21≤yo≤4.
.−21≤yo≤−5或−21≤yo≤4.

35. 中考新考法 新定义 若抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与直线$y = mx + n(m\neq0)$交$y$轴于同一点，且抛物线的顶点在直线$y = mx + n$上，则称该抛物线与直线互为“伙伴函数”.
(1)求抛物线$y = x^{2}-4x + 5$的“伙伴函数”表达式；
(2)若直线$y = mx - 3$与抛物线$y = x^{2}-6x + c$互为“伙伴函数”，求$m$与$c$的值.

答案： [解析]
(1)y=x²−4x+5=(x−2)²+1,
∴顶点坐标为(2,1),
∵抛物线y=x²−4x+5与y轴的交点为(0,5),代入“伙伴函数”y=mx+n,得{n2m=5+,n=1,
∴mn==5−,2,
∴抛物线y=x²−4x+5的“伙伴函数”表达式为y=−2x+5;
(2)
∵直线y=mx−3与y轴的交点坐标为(0,−3),
∴抛物线y=x²−6x+c与y轴的交点坐标也为(0,−3),,.c=−3,
∴抛物线为y=x²−6x−3,
∵y=x²−6x−3=(x−3)²−12,
∴抛物线的顶点坐标为(3,−12),代入y=mx−3得,−12=3m−3,..m=−3.