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16. 若$\sqrt{a - 3}+(b + 4)^{2}=0$,那么点(a,b)关于原点对称的点的坐标是________.(M8204004)
答案：
答案 (-3,4)
解析
∵ $\sqrt{a - 3}+(b + 4)^2 = 0$，
∴ a - 3 = 0，b + 4 = 0，解得a = 3，b = -4，
∴ 点(a,b)的坐标为(3,-4)，
∴ 点(a,b)关于原点对称的点的坐标是(-3,4).
∵ $\sqrt{a - 3}+(b + 4)^2 = 0$，
∴ a - 3 = 0，b + 4 = 0，解得a = 3，b = -4，
∴ 点(a,b)的坐标为(3,-4)，
∴ 点(a,b)关于原点对称的点的坐标是(-3,4).
17. 如图,已知四边形ABCD和点P,画四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称.(M8204004)
答案：
解析 如图，四边形A′B′C′D′为所求作.
解析 如图，四边形A′B′C′D′为所求作.
18. (2024浙江宁波慈溪中部区域期中,17,★★☆)如图所示的是由4个全等的正方形组成的L形图案,请按下列要求画图：
(1)在图①中添加1个正方形,使它成为轴对称图形(不能是中心对称图形).
(2)在图②中添加1个正方形,使它成为中心对称图形(不能是轴对称图形).
(3)在图③中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既是中心对称图形,又是轴对称图形.
(1)在图①中添加1个正方形,使它成为轴对称图形(不能是中心对称图形).
(2)在图②中添加1个正方形,使它成为中心对称图形(不能是轴对称图形).
(3)在图③中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既是中心对称图形,又是轴对称图形.
答案：
解析 （1）如图①，图②，图③所示. （2）如图④所示. （3）如图⑤，图⑥所示.
解析 （1）如图①，图②，图③所示. （2）如图④所示. （3）如图⑤，图⑥所示.
19. 推理能力 数学兴趣小组活动时,提出了如下问题:如图①,在△ABC中,若AB = 5,AC = 3,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决方法:如图①,延长AD到E,使得DE = AD,再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD).把AB,AC,2AD集中到△ABE中,利用三角形的三边关系可得2 ＜ AE ＜ 8,则1 ＜ AD ＜ 4.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造关于中点中心对称的图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
迁移应用:请参考上述解题方法,回答下列问题:
如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连结EF.
(1)求证:BE + CF ＞ EF.
(2)若∠A = 90°,试探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
解决方法:如图①,延长AD到E,使得DE = AD,再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD).把AB,AC,2AD集中到△ABE中,利用三角形的三边关系可得2 ＜ AE ＜ 8,则1 ＜ AD ＜ 4.
感悟:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造关于中点中心对称的图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
迁移应用:请参考上述解题方法,回答下列问题:
如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连结EF.
(1)求证:BE + CF ＞ EF.
(2)若∠A = 90°,试探索线段BE,CF,EF之间的等量关系,并加以证明.
答案：
解析 （1）证明：如图，延长FD到G，使得DG = DF，连结BG，EG（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
易证△CFD≌△BGD，
∴ CF = BG，
∵ DE⊥DF，
∴ EF = EG. 在△BEG中，BE + BG ＞ EG，
∴ BE + CF ＞ EF. （2）$BE^2 + CF^2 = EF^2$. 证明如下：
∵ ∠A = 90°，
∴ ∠EBC + ∠FCB = 90°，易证△CFD≌△BGD，
∴ ∠FCD = ∠DBG，
∴ ∠EBC + ∠DBG = 90°，即∠EBG = 90°，在Rt△EBG中，$BE^2 + BG^2 = EG^2$，由（1）知BG = CF，EG = EF，
∴ $BE^2 + CF^2 = EF^2$.
解析 （1）证明：如图，延长FD到G，使得DG = DF，连结BG，EG（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
易证△CFD≌△BGD，∴ CF = BG，
∵ DE⊥DF，
∴ EF = EG. 在△BEG中，BE + BG ＞ EG，
∴ BE + CF ＞ EF. （2）$BE^2 + CF^2 = EF^2$. 证明如下：
∵ ∠A = 90°，
∴ ∠EBC + ∠FCB = 90°，易证△CFD≌△BGD，
∴ ∠FCD = ∠DBG，
∴ ∠EBC + ∠DBG = 90°，即∠EBG = 90°，在Rt△EBG中，$BE^2 + BG^2 = EG^2$，由（1）知BG = CF，EG = EF，
∴ $BE^2 + CF^2 = EF^2$.
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