《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册浙教版》

9. 下面是婷婷用配方法解一元二次方程$2x^{2}+4x - 8 = 0$的过程,请认真阅读并完成相应的任务.
解:移项,得$2x^{2}+4x = 8$,…第一步
二次项系数化为1,得$x^{2}+2x = 4$,…第二步
配方,得$(x + 2)^{2}=8$,…第三步
由此可得$x + 2=\pm2\sqrt{2}$,…第四步
所以,$x_{1}=-2 + 2\sqrt{2},x_{2}=-2 - 2\sqrt{2}$.…第五步
(1)婷婷同学的解答过程,从第________步开始出现错误.
(2)请写出你认为正确的解答过程.

答案： - （1）婷婷同学的解答过程，从第三步开始出现错误。故答案为三。 - （2）正确的解答过程如下：$2x^{2}+4x - 8 = 0$，移项，得 $2x^{2}+4x = 8$，二次项系数化为1，得 $x^{2}+2x = 4$，配方，得 $x^{2}+2x + 1 = 4 + 1$，即 $(x + 1)^{2}=5$，开平方，得 $x + 1=\pm\sqrt{5}$，解得 $x_{1}=-1+\sqrt{5},x_{2}=-1-\sqrt{5}$。

10. 已知关于$x$的一元二次方程$(m + 1)x^{|m|+1}+(m - 2)x - 1 = 0$.
(1)求$m$的值.
(2)用配方法解这个方程.

答案： - （1）根据一元二次方程的定义可得 $\begin{cases}\vert m\vert+1 = 2\\m + 1\neq0\end{cases}$，解得 $m = 1$。 - （2）当 $m = 1$ 时，方程为 $2x^{2}-x - 1 = 0$，两边同除以2，得 $x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$，移项，得 $x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}$，配方，得 $x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{16}$，即 $(x-\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，开平方，得 $x-\frac{1}{4}=\pm\frac{3}{4}$，解得 $x_{1}=1,x_{2}=-\frac{1}{2}$。

11. [推理能力]阅读材料:把形如$ax^{2}+bx + c$的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即$a^{2}\pm2ab + b^{2}=(a\pm b)^{2}$.
例如:$(x - 1)^{2}+3$、$(x - 2)^{2}+2x$(或$(x + 2)^{2}-6x$)、$(\frac{1}{2}x - 2)^{2}+\frac{3}{4}x^{2}$是$x^{2}-2x + 4$的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).
请根据阅读材料解决下列问题:(M8202003)
(1)比照上面的例子,写出$x^{2}-4x + 2$的三种不同形式的配方.
(2)将$a^{2}+ab + b^{2}$配方(两种两种形式).
(3)已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - 3b - 2c + 4 = 0$,求$a + b + c$的值.

答案： - （1）$x^{2}-4x + 2=(x - 2)^{2}-2$，$x^{2}-4x + 2=(x+\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{2}+4)x=(x-\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2}-4)x$，$x^{2}-4x + 2=(\sqrt{2}x-\sqrt{2})^{2}-x^{2}$。 - （2）$a^{2}+ab + b^{2}=(a + b)^{2}-ab=(a - b)^{2}+3ab$，$a^{2}+ab + b^{2}=(a+\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}$，$a^{2}+ab + b^{2}=(\frac{1}{2}a + b)^{2}+\frac{3}{4}a^{2}$。 - （3）$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - 3b - 2c + 4 = 0$，$\therefore (a-\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}(b - 2)^{2}+(c - 1)^{2}=0$，$\therefore\begin{cases}a-\frac{1}{2}b = 0\\b - 2 = 0\\c - 1 = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 1\\b = 2\\c = 1\end{cases}$，$\therefore a + b + c = 4$。