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1.(2024浙江金华东阳横店四校月考联考)下列各式中,一定是二次根式的是(M8201001) ( )
A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{a^{2}+1}$
D.$\sqrt{a - 1}$
A.$\sqrt{-2}$
B.$\sqrt[3]{3}$
C.$\sqrt{a^{2}+1}$
D.$\sqrt{a - 1}$
答案：
C $\sqrt{-2}$无意义，不是二次根式，故A不符合题意；
$\sqrt[3]{3}$是表示三次方根的代数式，故B不符合题意；
$a$取任意实数时，$a^{2}+1 ＞ 0$均成立，所以$\sqrt{a^{2}+1}$一定是二次根式，故C符合题意；
当$a ＜ 1$，即$a - 1 ＜ 0$时，$\sqrt{a - 1}$不是二次根式，故D不符合题意. 故选C.
·方法解读
形如$\sqrt{a}(a\geq0)$的式子是二次根式，因此二次根式的被开方数$a$应满足条件$a\geq0$. 解答与二次根式概念有关的问题时，通常根据上述条件建立不等式来求解.
2. 下列各式：①$\sqrt{16}$；②$\sqrt{3a}$；③$\sqrt{b^{2}-1}$；④$\sqrt{x^{2}-2x + 2}$；⑤$\sqrt{-144}$.其中一定是二次根式的是________.(填序号)(M8201001)
答案：
答案 ①④
解析 ①$\sqrt{16}$是二次根式；
②当$3a ＜ 0$，即$a ＜ 0$时，$\sqrt{3a}$不是二次根式；
③当$b^{2} ＜ 1$，即$b^{2}-1 ＜ 0$时，$\sqrt{b^{2}-1}$不是二次根式；
④$\sqrt{x^{2}-2x + 2}=\sqrt{(x - 1)^{2}+1}$，是二次根式；
⑤$\sqrt{-144}$无意义，不是二次根式.
故答案为①④.
3.填空:(M8201001)
(1)面积为5的正方形的边长为________；
(2)直角三角形的两直角边的长分别是3,5,则斜边长为________；
(3)面积为6.28的圆的半径为________.($\pi$取3.14)
(1)面积为5的正方形的边长为________；
(2)直角三角形的两直角边的长分别是3,5,则斜边长为________；
(3)面积为6.28的圆的半径为________.($\pi$取3.14)
答案：
答案
(1)$\sqrt{5}$
(2)$\sqrt{34}$
(3)$\sqrt{2}$ 解析
(1)根据正方形的面积 = 边长²，可知面积为5的正方形的边长为$\sqrt{5}$.
(2)直角三角形的两直角边的长分别是3，5，则根据勾股定理可知斜边长为$\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$.
(3)根据圆的面积公式$S = \pi r^{2}$，可知面积为6.28的圆的半径为$\sqrt{\frac{6.28}{3.14}}=\sqrt{2}$.
(1)$\sqrt{5}$
(2)$\sqrt{34}$
(3)$\sqrt{2}$ 解析
(1)根据正方形的面积 = 边长²，可知面积为5的正方形的边长为$\sqrt{5}$.
(2)直角三角形的两直角边的长分别是3，5，则根据勾股定理可知斜边长为$\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$.
(3)根据圆的面积公式$S = \pi r^{2}$，可知面积为6.28的圆的半径为$\sqrt{\frac{6.28}{3.14}}=\sqrt{2}$.
4.教材变式·P4例1(2023内蒙古呼和浩特中考)若代数式$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是 ( )
A.$x\leq2$
B.$x＞2$
C.$x\geq2$
D.$x＜2$
A.$x\leq2$
B.$x＞2$
C.$x\geq2$
D.$x＜2$
答案：
B 要使$\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$在实数范围内有意义，只需$x - 2 ＞ 0$，
解得$x ＞ 2$，故选B.
5.(2024浙江杭州萧山期中)若$a＜2$,则下列二次根式一定有意义的是 ( )
A.$\sqrt{2a}$
B.$\sqrt{a - 1}$
C.$\sqrt{3 - a}$
D.$\sqrt{1 - a}$
A.$\sqrt{2a}$
B.$\sqrt{a - 1}$
C.$\sqrt{3 - a}$
D.$\sqrt{1 - a}$
答案：
C 当$a = -1$时，$2a = -2$，此时$\sqrt{2a}$无意义，故A不符合题意；当$a = 0$时，$a - 1 = -1$，此时$\sqrt{a - 1}$无意义，故B不符合题意；因为$a ＜ 2$，所以$-a ＞ -2$，所以$3 - a ＞ 1$，所以$\sqrt{3 - a}$一定有意义，故C符合题意；当$a = 1.5$时，$1 - a = -0.5$，此时$\sqrt{1 - a}$无意义，故D不符合题意. 故选C.
6.写出一个含有字母$m$的二次根式,且无论字母$m$取何值,这个二次根式都有意义,这个二次根式可以是________(写出一个即可).
答案：
答案 $\sqrt{m^{2}+2m + 3}$(答案不唯一)
解析 由$m^{2}+2m + 3=(m + 1)^{2}+2\geq2$可知，无论字母$m$取何值，二次根式$\sqrt{m^{2}+2m + 3}$都有意义.
故答案为$\sqrt{m^{2}+2m + 3}$.(答案不唯一)
7.求下列二次根式中字母$a$的取值范围.
(1)$\sqrt{a + 8}$.
(2)$\sqrt{-\frac{1}{a + 7}}$.
(3)$\sqrt{(a + 11)^{2}}$.
(1)$\sqrt{a + 8}$.
(2)$\sqrt{-\frac{1}{a + 7}}$.
(3)$\sqrt{(a + 11)^{2}}$.
答案：
解析
(1)由$a + 8\geq0$，得$a\geq -8$， 所以字母$a$的取值范围是大于或等于 -8的实数.
(2)由$-\frac{1}{a + 7}\geq0$，得$a + 7 ＜ 0$，解得$a ＜ -7$， 所以字母$a$的取值范围是小于 -7的实数.
(3)因为无论$a$取何值，都有$(a + 11)^{2}\geq0$，所以字母$a$的取值范围是全体实数.
(1)由$a + 8\geq0$，得$a\geq -8$， 所以字母$a$的取值范围是大于或等于 -8的实数.
(2)由$-\frac{1}{a + 7}\geq0$，得$a + 7 ＜ 0$，解得$a ＜ -7$， 所以字母$a$的取值范围是小于 -7的实数.
(3)因为无论$a$取何值，都有$(a + 11)^{2}\geq0$，所以字母$a$的取值范围是全体实数.
8.教材变式·P5例2(2024浙江杭州西溪中学期中)当$x = - 2$时,二次根式$\sqrt{5 - 2x}$的值是________.
答案：
答案 3
解析 当$x = -2$时，$\sqrt{5 - 2x}=\sqrt{5 - 2\times(-2)}=\sqrt{9}=3$.
9.(2024上海中考)已知$\sqrt{2x - 1}=1$,则$x =$________.
答案：
答案 1
解析 $\because\sqrt{2x - 1}=1$，
$\therefore 2x - 1 = 1$，解得$x = 1$.
故答案为1.
10.新独家原创 小王在墙上贴了一幅写有“十年约定”四个字的书法作品(如图),这幅作品的长为$a$ cm,宽为$b$ cm,则与其面积相等的正方形的边长为________cm.当$a = 4,b = 9$时,与其面积相等的正方形的边长为________cm.
十年约定
十年约定
答案：
答案 $\sqrt{ab}$；6
解析 因为这幅作品的长为$a$ cm，宽为$b$ cm，所以与其面积相等的正方形的边长为$\sqrt{ab}$ cm，当$a = 4$，$b = 9$时，与其面积相等的正方形的边长为$\sqrt{ab}=\sqrt{4\times9}=6$(cm).
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