搜索
1. (2024浙江杭州西湖三模)方程$x^{2}+2x - m = 0$的一个根为2,则另一个根为(M8202005) ( )
A. 3
B. 4
C. -3
D. -4
A. 3
B. 4
C. -3
D. -4
答案：
D 设方程$x^{2}+2x - m = 0$的另一个根为$a$，
$\because$方程的一个根为2，$\therefore 2 + a = - 2$，解得$a = - 4$。
$\therefore$方程$x^{2}+2x - m = 0$的另一个根为 - 4。
故选D。
2. 易错题 一元二次方程$2x^{2}-4x + 2 = 1$的两根为$x_{1},x_{2}$,则下列各式正确的是(M8202005) ( )
A. $x_{1}x_{2}=1$
B. $x_{1}+x_{2}=4$
C. $x_{1}+x_{2}=-2$
D. $x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$
A. $x_{1}x_{2}=1$
B. $x_{1}+x_{2}=4$
C. $x_{1}+x_{2}=-2$
D. $x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$
答案：
D 一元二次方程$2x^{2}-4x + 2 = 1$，化为一般形式，得$2x^{2}-4x + 1 = 0$，因为一元二次方程$2x^{2}-4x + 2 = 1$的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，所以$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{2}$，只有选项D正确，故选D。
3. 若实数$m,n$满足$m + n = 3,mn = 2$,则以$m,n$为根的一元二次方程可以是(M8202005) ( )
A. $x^{2}-3x + 2 = 0$
B. $x^{2}+3x + 2 = 0$
C. $x^{2}-3x - 2 = 0$
D. $x^{2}+3x - 2 = 0$
A. $x^{2}-3x + 2 = 0$
B. $x^{2}+3x + 2 = 0$
C. $x^{2}-3x - 2 = 0$
D. $x^{2}+3x - 2 = 0$
答案：
A 若一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的两根为$x_{1}$，$x_{2}$，根据一元二次方程根与系数的关系：$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$，可知A正确。故选A。
8. (2024浙江嘉兴平湖期末,13,★★☆)已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+(a + 2)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}＜1＜x_{2}$,则实数$a$的取值范围为________.(M8202005)
答案：
答案 $-\frac{3}{2}＜a＜0$
解析 $\because$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+(a + 2)x + 1 = 0$有两个不相等的实数根，$\therefore (a + 2)^{2}-4a＞0$且$a\neq0$，解得$a\neq0$，$\because$两个不相等的实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-\frac{a + 2}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{1}{a}$，$\because x_{1}＜1＜x_{2}$，$\therefore x_{1}-1＜0$，$x_{2}-1＞0$，
$\therefore (x_{1}-1)(x_{2}-1)＜0$，$\therefore x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1＜0$，$\therefore\frac{1}{a}-(-\frac{a + 2}{a})+1＜0$，当$a＜0$时，$\frac{1}{a}-(-\frac{a + 2}{a})+1＜0$两边同乘$a$，得$1-[-(a + 2)]+a＞0$，解得$a＞-\frac{3}{2}$，故$-\frac{3}{2}＜a＜0$。当$a＞0$时，$\frac{1}{a}-(-\frac{a + 2}{a})+1＜0$两边同乘$a$，得$1-[-(a + 2)]+a＜0$，解得$a＜-\frac{3}{2}$，$\therefore$此时无解。综上所述，实数$a$的取值范围为$-\frac{3}{2}＜a＜0$。
9. [新考向·代数推理] (2024四川内江中考,26,★★☆)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$($p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$.(M8202005)
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$________,$x_{1}x_{2}=$________.
(2)求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}},x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$.
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$,求$p$的值.
(1)填空:$x_{1}+x_{2}=$________,$x_{1}x_{2}=$________.
(2)求$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}},x_{1}+\frac{1}{x_{1}}$.
(3)已知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$,求$p$的值.
答案：
解析
(1)$p$；1。
(2)$\because x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，$\therefore\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$。 $\because x_{1}$是一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$（$p$为常数）的一个根， $\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1 = 0$，容易知道$x_{1}\neq0$， $\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$，即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$。
(3)$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p + 1$，$\because x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，$\therefore p^{2}-2 = 2p + 1$，解得$p_{1}=3$，$p_{2}=-1$。当$p = 3$时，$(-p)^{2}-4=9 - 4 = 5＞0$；当$p = - 1$时，$(-p)^{2}-4=-3＜0$，不符合题意，舍去。$\therefore p = 3$。
(1)$p$；1。
(2)$\because x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，$\therefore\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$。 $\because x_{1}$是一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0$（$p$为常数）的一个根， $\therefore x_{1}^{2}-px_{1}+1 = 0$，容易知道$x_{1}\neq0$， $\therefore x_{1}-p+\frac{1}{x_{1}}=0$，即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}}=p$。
(3)$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，$\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p + 1$，$\because x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，$\therefore p^{2}-2 = 2p + 1$，解得$p_{1}=3$，$p_{2}=-1$。当$p = 3$时，$(-p)^{2}-4=9 - 4 = 5＞0$；当$p = - 1$时，$(-p)^{2}-4=-3＜0$，不符合题意，舍去。$\therefore p = 3$。
4. (2024浙江杭州养正中学期中,7,★★☆)已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x - a = 0$,有下列结论:
①当$a ＞ -1$时,方程有两个不相等的实数根;
②当$a ＞ 0$时,方程不可能有两个异号的实数根;
③当$a ＞ -1$时,方程的两个实数根不可能都小于1.其中正确的个数是(M8202005) ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
①当$a ＞ -1$时,方程有两个不相等的实数根;
②当$a ＞ 0$时,方程不可能有两个异号的实数根;
③当$a ＞ -1$时,方程的两个实数根不可能都小于1.其中正确的个数是(M8202005) ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：
C $\because x^{2}-2x - a = 0$，$\therefore (-2)^{2}-4\times1\times(-a)=4 + 4a$，①当$a ＞ - 1$时，$4 + 4a ＞ 0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根，故①正确；②当$a ＞ 0$时，由①知方程有两个不相等的实数根，此时两根之积$= - a ＜ 0$，$\therefore$方程的两根异号，故②错误；③当$a ＞ - 1$时，方程的根为$x=\frac{2\pm\sqrt{4 + 4a}}{2}=1\pm\sqrt{1 + a}$，$\because 1+\sqrt{1 + a}＞1$，$\therefore$方程的两个实数根不可能都小于1，故③正确。故选C。
5. (2024四川乐山中考,8,★★☆)若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + p = 0$的两根为$x_{1}、x_{2}$,且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=3$,则$p$的值为(M8202005) ( )
A. $-\frac{2}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. -6
D. 6
A. $-\frac{2}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. -6
D. 6
答案：
A $\because$关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x + p = 0$的两根为$x_{1}$、$x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}x_{2}=p$，
$\because\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=3$，$\therefore\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=3$，$\therefore\frac{-2}{p}=3$，解得$p = -\frac{2}{3}$。
经检验，$p = -\frac{2}{3}$是方程$\frac{-2}{p}=3$的根。
故选A。
6. (2023湖北黄冈中考,12,★★☆)已知一元二次方程$x^{2}-3x + k = 0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,若$x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}=1$,则实数$k =$________.(M8202005)
答案：
答案 - 5
解析 $\because$一元二次方程$x^{2}-3x + k = 0$有两个实数根，
$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4k\geq0$，解得$k\leq\frac{9}{4}$，
$\because$一元二次方程$x^{2}-3x + k = 0$的两个实数根为$x_{1}$，$x_{2}$，$\therefore x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=k$，
$\because x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}=1$，$\therefore k + 2\times3 = 1$，解得$k = - 5$。
7. (2024山东烟台中考,13,★★☆)若一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两根为$m,n$,则$3m^{2}-4m + n^{2}$的值为________.(M8202005)
答案：
答案 6
解析 $\because$一元二次方程$2x^{2}-4x - 1 = 0$的两根为$m$，$n$，$\therefore 2m^{2}-4m - 1 = 0$，$m + n = -\frac{-4}{2}=2$，$mn = -\frac{1}{2}$，$\therefore 2m^{2}-4m = 1$，$\therefore 3m^{2}-4m + n^{2}=m^{2}+n^{2}+2m^{2}-4m=(m + n)^{2}-2mn + 1=2^{2}-2\times(-\frac{1}{2})+1 = 6$。故答案为6。
10. 运算能力 (2024浙江杭州育海外国语中学月考)如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$有两个不相等的实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“2倍根方程”.(M8202005)
(1)方程$x^{2}-6x + 8 = 0$________“2倍根方程”.(填“是”或“不是”)
(2)若一元二次方程$x^{2}-9x + c = 0$是“2倍根方程”,求出$c$的值.
(3)若$(x - 3)(ax - b)=0(a\neq0)$是“2倍根方程”,求代数式$\frac{3a - 2b}{a + b}$的值.
(1)方程$x^{2}-6x + 8 = 0$________“2倍根方程”.(填“是”或“不是”)
(2)若一元二次方程$x^{2}-9x + c = 0$是“2倍根方程”,求出$c$的值.
(3)若$(x - 3)(ax - b)=0(a\neq0)$是“2倍根方程”,求代数式$\frac{3a - 2b}{a + b}$的值.
答案：
解析
(1)$x^{2}-6x + 8 = 0$，将方程左边分解因式得$(x - 2)(x - 4)=0$，$\therefore x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=4$，$\because 4 = 2\times2$，$\therefore$方程$x^{2}-6x + 8 = 0$是“2倍根方程”，故答案为是。
(2)设方程$x^{2}-9x + c = 0$的两根为$a$，$2a$，则$a + 2a = 9$，$a\cdot2a = c$，解得$a = 3$，$\therefore c = 2a^{2}=18$。
(3)$\because (x - 3)(ax - b)=0(a\neq0)$，$\therefore x - 3 = 0$或$ax - b = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{b}{a}$，$\because (x - 3)(ax - b)=0(a\neq0)$是“2倍根方程”，$\therefore\frac{b}{a}=2\times3 = 6$或$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\times3=\frac{3}{2}$， $\therefore b = 6a$或$b=\frac{3}{2}a$，$\therefore\frac{3a - 2b}{a + b}=\frac{3a - 2\times6a}{a + 6a}=-\frac{9}{7}$或$\frac{3a - 2b}{a + b}=\frac{3a - 2\times\frac{3}{2}a}{a+\frac{3}{2}a}=0$。
(1)$x^{2}-6x + 8 = 0$，将方程左边分解因式得$(x - 2)(x - 4)=0$，$\therefore x - 2 = 0$或$x - 4 = 0$，$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=4$，$\because 4 = 2\times2$，$\therefore$方程$x^{2}-6x + 8 = 0$是“2倍根方程”，故答案为是。
(2)设方程$x^{2}-9x + c = 0$的两根为$a$，$2a$，则$a + 2a = 9$，$a\cdot2a = c$，解得$a = 3$，$\therefore c = 2a^{2}=18$。
(3)$\because (x - 3)(ax - b)=0(a\neq0)$，$\therefore x - 3 = 0$或$ax - b = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{b}{a}$，$\because (x - 3)(ax - b)=0(a\neq0)$是“2倍根方程”，$\therefore\frac{b}{a}=2\times3 = 6$或$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\times3=\frac{3}{2}$， $\therefore b = 6a$或$b=\frac{3}{2}a$，$\therefore\frac{3a - 2b}{a + b}=\frac{3a - 2\times6a}{a + 6a}=-\frac{9}{7}$或$\frac{3a - 2b}{a + b}=\frac{3a - 2\times\frac{3}{2}a}{a+\frac{3}{2}a}=0$。
查看更多完整答案，请扫码查看
