《2025年5年中考3年模拟八年级数学下册浙教版》

10.(2024浙江J12共同体联盟校期中,8,★★☆)下列说法正确的是 ( )
A.一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{n}$都减去m后平均数为$\overline{x}$,方差为$S^{2}$,则这组数据的平均数为$m + \overline{x}$,方差为$S^{2}$
B.已知一组数据的方差计算公式为$S^{2}=\frac{1}{5}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}-20)$,则这组数据的平均数为4
C.方差反映的是一组数据的波动大小,方差的值一定是正数
D.数据1,2,2,4,4,6的众数是4

答案： A A.一组数据$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，…，$x_{n}$都减去$m$后的平均数为$\overline{x}$，方差为$S^{2}$，则这组数据的平均数为$m+\overline{x}$，方差为$S^{2}$，故本选项正确，符合题意； B.设平均数为$a$，则方差为$S^{2}=\frac{1}{5}[(x_{1}-a)^{2}+(x_{2}-a)^{2}+(x_{3}-a)^{2}+(x_{4}-a)^{2}+(x_{5}-a)^{2}]$ $=\frac{1}{5}[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}-2a(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})+5a^{2}]$ $=\frac{1}{5}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}-2a×5a+5a^{2})$ $=\frac{1}{5}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}-5a^{2})$， 因为$S^{2}=\frac{1}{5}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}-20)$，所以$5a^{2}=20$，所以$a = ±2$，故本选项错误，不符合题意； C.方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是非负数，故本选项错误，不符合题意； D.数据1，2，2，4，4，6的众数是2和4，故本选项错误，不符合题意，故选A。

11.(2023浙江杭州上城一模,7,★★☆)跳远运动员小李在一次训练中,跳了6次的成绩(单位:m)如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9,这六次成绩的平均数为7.8,方差为$\frac{1}{60}$.如果小李再跳一次,成绩为7.8 m,则小李这七次跳远成绩与前六次的成绩相比较,其方差(M8203003) ( )
A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定

答案： B 因为小李再跳1次，成绩为7.8 m，所以这组数据的平均数是$\frac{7.8×6 + 7.8}{7}=7.8(m)$，这七次跳远成绩的方差是$\frac{1}{7}×[(7.6 - 7.8)^{2}+3×(7.8 - 7.8)^{2}+(7.7 - 7.8)^{2}+(8.0 - 7.8)^{2}+(7.9 - 7.8)^{2}]=\frac{1}{70}$，因为$\frac{1}{70}＜\frac{1}{60}$，所以方差变小，故选B。

12.(2023浙江温岭一模,8,★★☆)顶呱呱学习小组5名同学某次数学成绩如图所示,拿到试卷后,小刚发现自己的成绩少加了10分,老师加回分数后,下列说法正确的是(M8203003) ( )

A.小刚加分后的成绩位于组内中等水平
B.小组平均分增加2分
C.小组的成绩稳定性增加,方差变大
D.该小组成绩不存在中位数

答案： B 从题图中可以得出小刚加分前的成绩小于70分，B同学成绩大于80分而小于90分，A同学成绩大于B同学成绩而小于90分，D同学成绩大于90分而小于100分，E同学成绩为90分。小刚的成绩加上10分后，仍然处于下等水平，所以A说法错误；小刚的成绩加上10分后，小组的平均分增加$\frac{10}{5}=2$分，所以B说法正确；小组的成绩稳定性增加，方差变小，所以C说法错误；该小组成绩存在中位数，为A同学的成绩，所以D说法错误，故选B。

13.(2024山东济南莱芜期末,14,★★☆)已知2,3,5,m四个数据的方差是2,那么5,6,8,m + 3四个数据的标准差是________.

答案： 答案 $\sqrt{2}$ 解析 设原数据的平均数为$\overline{x}$，新数据的每一个数都加了3，则平均数为$\overline{x}+3$，则原来的方差$S_{1}^{2}=\frac{1}{4}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}+(x_{4}-\overline{x})^{2}]=2$，现在的方差$S_{2}^{2}=\frac{1}{4}[(x_{1}+3-\overline{x}-3)^{2}+(x_{2}+3-\overline{x}-3)^{2}+(x_{3}+3-\overline{x}-3)^{2}+(x_{4}+3-\overline{x}-3)^{2}]=\frac{1}{4}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}+(x_{4}-\overline{x})^{2}]=2$，所以标准差是$\sqrt{2}$，故答案为$\sqrt{2}$。

14.(2022浙江宁波江北期中,15,★★☆)已知五个正数a,b,c,d,e的平均数是4,方差为2,则3a + 1,3b + 1,3c + 1,3d + 1,3e + 1这五个数的平均数是________,方差是________.

答案： 答案 13；18 解析 因为五个正数$a$，$b$，$c$，$d$，$e$的平均数是4，方差为2，所以$\frac{1}{5}(a + b + c + d + e)=4$，$\frac{1}{5}[(a - 4)^{2}+(b - 4)^{2}+(c - 4)^{2}+(d - 4)^{2}+(e - 4)^{2}]=2$，所以$3a + 1$，$3b + 1$，$3c + 1$，$3d + 1$，$3e + 1$这五个数的平均数是$\frac{1}{5}(3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1 + 3d + 1 + 3e + 1)=\frac{1}{5}[3(a + b + c + d + e)+5]=3×\frac{1}{5}(a + b + c + d + e)+1=3×4 + 1 = 13$，$3a + 1$，$3b + 1$，$3c + 1$，$3d + 1$，$3e + 1$这五个数的方差为$\frac{1}{5}[(3a + 1 - 13)^{2}+(3b + 1 - 13)^{2}+(3c + 1 - 13)^{2}+(3d + 1 - 13)^{2}+(3e + 1 - 13)^{2}]=\frac{1}{5}[(3a - 12)^{2}+(3b - 12)^{2}+(3c - 12)^{2}+(3d - 12)^{2}+(3e - 12)^{2}]=9×\frac{1}{5}[(a - 4)^{2}+(b - 4)^{2}+(c - 4)^{2}+(d - 4)^{2}+(e - 4)^{2}]=9×2 = 18$。 方法总结：平均数与方差的变化规律 若数据$x_{1}$，$x_{2}$，…，$x_{n}$的平均数为$\overline{x}$，方差为$S^{2}$，则
(1)数据$x_{1}+b$，$x_{2}+b$，…，$x_{n}+b$的平均数为$\overline{x}+b$，方差为$S^{2}$；
(2)数据$ax_{1}$，$ax_{2}$，…，$ax_{n}$的平均数为$a\overline{x}$，方差为$a^{2}S^{2}$；
(3)数据$ax_{1}+b$，$ax_{2}+b$，…，$ax_{n}+b$的平均数为$a\overline{x}+b$，方差为$a^{2}S^{2}$。

15.某校举行体育运动季活动,甲、乙两班各推选8位同学参加1分钟跳绳比赛项目,统计成绩如下(单位:个):
甲班:170,173,165,173,182,173,179,185.
乙班:172,170,182,175,176,171,176,178.
(1)为了进一步分析数据,请补全下表中a,b,c的值:
|班级|平均数|中位数|众数|
|----|----|----|----|
|甲班|a|173|c|
|乙班|175|b|176|
(2)已知甲班跳绳个数的方差为37.75,求乙班跳绳个数的方差.
(3)如果要从这两个班中选出一个班代表学校参加跳绳比赛,你认为选择哪个班比较合适?为什么?

答案： 解析
(1)$a=\frac{1}{8}×(170 + 173 + 165 + 173 + 182 + 173 + 179 + 185)=175$，甲班成绩中，出现次数最多的是173，所以$c = 173$。把乙班的成绩从小到大排列为170，171，172，175，176，176，178，182，所以$b=\frac{175 + 176}{2}=175.5$。
(2)乙班跳绳个数的方差$=\frac{1}{8}×[(172 - 175)^{2}+(170 - 175)^{2}+(182 - 175)^{2}+(175 - 175)^{2}+(176 - 175)^{2}+(171 - 175)^{2}+(176 - 175)^{2}+(178 - 175)^{2}]=13.75$。
(3)选择乙班比较合适，理由如下：虽然甲班和乙班的平均数相同，但是乙班的中位数、众数均高于甲班，且乙班的方差比甲班小，更稳定，所以选乙班。